Isi

• Melangkah

Persamaan trigonometri adalah persamaan dengan satu atau lebih fungsi trigonometri dari variabel kurva trigonometri x. Memecahkan x berarti mencari nilai kurva trigonometri yang fungsi trigonometrinya menyebabkan persamaan trigonometri menjadi benar.

• Jawaban, atau nilai, dari kurva solusi dinyatakan dalam derajat atau radian. Contoh:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 derajat; x = 37,12 derajat; x = 178,37 derajat

• Catatan: Pada lingkaran satuan, fungsi trigonometri dari setiap kurva sama dengan fungsi trigonometri dari sudut yang sesuai. Lingkaran satuan mendefinisikan semua fungsi trigonometri dari kurva variabel x. Ini juga digunakan sebagai bukti dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri dasar.
• Contoh persamaan trigonometri:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + ranjang bayi x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Lingkaran satuan.
   • Ini adalah lingkaran dengan Radius = 1, di mana O adalah asalnya. Lingkaran satuan mendefinisikan 4 fungsi trigonometri utama dari kurva variabel x, yang melingkarinya berlawanan arah jarum jam.
   • Jika kurva dengan nilai x bervariasi pada lingkaran satuan, maka berlaku:
   • Sumbu horizontal OAx mendefinisikan fungsi trigonometri f (x) = cos x.
   • Sumbu vertikal OBy mendefinisikan fungsi trigonometri f (x) = sin x.
   • Sumbu vertikal AT mendefinisikan fungsi trigonometri f (x) = tan x.
   • Sumbu horizontal BU mendefinisikan fungsi trigonometri f (x) = cot x.

• Lingkaran satuan juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dasar dan pertidaksamaan trigonometri standar dengan mempertimbangkan berbagai posisi kurva x pada lingkaran.

Melangkah

1. Pahami metode solusinya.
   • Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda mengubahnya menjadi satu atau lebih persamaan trigonometri dasar. Memecahkan persamaan trigonometri akhirnya menghasilkan penyelesaian 4 persamaan trigonometri dasar.
2. Ketahui cara menyelesaikan persamaan trigonometri dasar.
   • Ada 4 persamaan trigonometri dasar:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; ranjang bayi x = a
   • Anda dapat menyelesaikan persamaan trigonometri dasar dengan mempelajari berbagai posisi kurva x pada lingkaran trigonometri dan dengan menggunakan tabel konversi trigonometri (atau kalkulator). Untuk memahami sepenuhnya cara menyelesaikan persamaan ini dan persamaan trigonometri dasar yang serupa, baca buku berikut: "Trigonometri: Memecahkan Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri" (Amazon E-book 2010).
   • Contoh 1. Selesaikan untuk sin x = 0.866. Tabel konversi (atau kalkulator) memberikan jawabannya: x = Pi / 3. Lingkaran trigonometri memberikan kurva lain (2Pi / 3) dengan nilai yang sama untuk sinus (0,866). Lingkaran trigonometri juga menyediakan jawaban tak terhingga yang disebut jawaban diperpanjang.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, dan x2 = 2Pi / 3. (Balasan dalam satu periode (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi, dan x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Jawaban rinci).
   • Contoh 2. Selesaikan: cos x = -1/2. Kalkulator memberikan x = 2 Pi / 3. Lingkaran trigonometri juga memberikan x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, dan x2 = - 2Pi / 3. (Jawaban untuk periode (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, dan x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Jawaban Lengkap)
   • Contoh 3. Selesaikan: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Menjawab)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Jawaban diperpanjang)
   • Contoh 4. Selesaikan: cot 2x = 1,732. Kalkulator dan lingkaran trigonometri menghasilkan:
   • x = Pi / 12; (Menjawab)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Jawaban Lengkap)
3. Pelajari transformasi yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri.
   • Untuk mengubah persamaan trigonometri tertentu menjadi persamaan trigonometri standar, gunakan konversi aljabar standar (faktorisasi, faktor persekutuan, polinomial ...), definisi dan sifat fungsi trigonometri dan identitas trigonometri. Ada sekitar 31, 14 di antaranya merupakan identitas trigonometri, dari 19 menjadi 31, disebut juga identitas transformasi, karena digunakan dalam konversi persamaan trigonometri. Lihat buku di atas.
   • Contoh 5: Persamaan trigonometri: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 dapat diubah menjadi hasil perkalian persamaan trigonometri dasar menggunakan identitas trigonometri: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Persamaan trigonometri dasar yang harus diselesaikan adalah: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; dan cos (x / 2) = 0.
4. Temukan kurva yang fungsi trigonometrinya diketahui.
   • Sebelum Anda bisa mempelajari cara menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mengetahui cara cepat mencari kurva yang fungsi trigonometrinya diketahui. Nilai konversi kurva (atau sudut) dapat ditentukan dengan tabel trigonometri atau kalkulator.
   • Contoh: Selesaikan untuk cos x = 0,732. Kalkulator memberikan solusi x = 42,95 derajat. Lingkaran satuan memberikan kurva lain dengan nilai yang sama untuk kosinus.
5. Gambarkan busur jawaban pada lingkaran satuan.
   • Anda dapat membuat grafik untuk mengilustrasikan solusi pada lingkaran satuan. Titik akhir dari kurva ini adalah poligon beraturan pada lingkaran trigonometri. Beberapa contoh:
   • Titik-titik ujung kurva x = Pi / 3 + k. Pi / 2 adalah persegi pada lingkaran satuan.
   • Kurva x = Pi / 4 + k.Pi / 3 diwakili oleh koordinat segi enam pada lingkaran satuan.
6. Pelajari cara menyelesaikan persamaan trigonometri.
   • Jika persamaan trigonometri yang diberikan hanya berisi satu fungsi trigonometri, selesaikan sebagai persamaan trigonometri standar. Jika persamaan yang diberikan berisi dua atau lebih fungsi trigonometri, ada 2 metode penyelesaian, bergantung pada opsi untuk mengonversi persamaan.
     • A.Metode 1.
   • Ubah persamaan trigonometri menjadi hasil kali bentuk: f (x) .g (x) = 0 atau f (x) .g (x) .h (x) = 0, di mana f (x), g (x) dan h (x) adalah persamaan trigonometri dasar.
   • Contoh 6. Selesaikan: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Larutan. Gantikan sin 2x pada persamaan tersebut menggunakan identitas: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Kemudian selesaikan 2 fungsi trigonometri standar: cos x = 0, dan (sin x + 1) = 0.
   • Contoh 7. Selesaikan: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Solusi: Ubah ini menjadi perkalian, menggunakan identitas trigonometri: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Sekarang selesaikan 2 persamaan trigonometri dasar: cos 2x = 0, dan (2cos x + 1) = 0.
   • Contoh 8. Pecahkan: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Penyelesaian: Ubah ini menjadi sebuah perkalian, menggunakan identitas trigonometri: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan 2 persamaan trigonometri dasar: cos 2x = 0, dan (2sin x + 1) = 0.
     • B.Pendekatan 2.
   • Mengonversi persamaan trigonometri menjadi persamaan trigonometri dengan hanya satu fungsi trigonometri unik sebagai variabel. Ada beberapa tip tentang bagaimana memilih variabel yang sesuai. Variabel umum adalah: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t dan tan (x / 2) = t.
   • Contoh 9. Selesaikan: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Larutan. Dalam persamaan tersebut, gantikan (cos ^ 2x) dengan (1 - sin ^ 2x), dan sederhanakan persamaan tersebut:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Sekarang gunakan sin x = t. Persamaannya menjadi: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat dengan 2 akar: t1 = -1 dan t2 = 9/5. Kita dapat menolak t2 kedua, karena> 1. Sekarang cari tahu: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Contoh 10. Selesaikan: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Larutan. Gunakan tan x = t. Ubah persamaan yang diberikan menjadi persamaan dengan t sebagai variabel: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Selesaikan t dari hasil perkalian ini, kemudian selesaikan persamaan trigonometri standar tan x = t untuk x.
7. Pecahkan persamaan trigonometri khusus.
   • Ada beberapa persamaan trigonometri khusus yang memerlukan beberapa konversi tertentu. Contoh:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Pelajari sifat periodik dari fungsi trigonometri.
   • Semua fungsi trigonometri bersifat periodik, yang berarti fungsi tersebut kembali ke nilai yang sama setelah rotasi selama suatu periode. Contoh:
     • Fungsi f (x) = sin x memiliki 2Pi sebagai titik.
     • Fungsi f (x) = tan x memiliki Pi sebagai titik.
     • Fungsi f (x) = sin 2x memiliki Pi sebagai titik.
     • Fungsi f (x) = cos (x / 2) memiliki 4Pi sebagai periode.
   • Jika periode ditentukan dalam latihan / tes, maka Anda hanya perlu mencari kurva x dalam periode ini.
   • CATATAN: Memecahkan persamaan trigonometri itu rumit dan sering kali menyebabkan kesalahan dan kesalahan. Oleh karena itu, jawaban harus diperiksa dengan cermat. Setelah menyelesaikan, Anda dapat memeriksa jawaban menggunakan kalkulator grafik, untuk representasi langsung dari persamaan trigonometri yang diberikan R (x) = 0. Jawaban (sebagai akar kuadrat) diberikan dalam desimal. Sebagai contoh, Pi memiliki nilai 3,14