Cara membagi matriks

Video: Adakah Pembagian Matriks? Soal Menarik Tentang Matriks

Isi

Ringkasan singkat
Langkah
Bagian 1 dari 3: Menguji Pembagian Matriks
Bagian 2 dari 3: Menemukan Matriks Invers
Bagian 3 dari 3: Perkalian matriks
Tips
Peringatan
Artikel tambahan

Jika Anda tahu cara mengalikan dua matriks, Anda dapat mulai "membagi" matriks. Kata “pembagian” diapit oleh tanda petik, karena matriks sebenarnya tidak dapat dibagi. Operasi pembagian diganti dengan operasi perkalian satu matriks dengan matriks yang merupakan kebalikan dari matriks kedua. Untuk mempermudah, pertimbangkan contoh dengan bilangan bulat: 10 5. Temukan kebalikan dari 5:5 atau /₅, lalu ganti pembagian dengan perkalian: 10 x 5; hasil pembagian dan perkalian akan sama. Oleh karena itu, diyakini bahwa pembagian dapat diganti dengan perkalian dengan matriks terbalik. Biasanya, perhitungan tersebut digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.

Ringkasan singkat

Anda tidak dapat membagi matriks. Alih-alih membagi, satu matriks dikalikan dengan kebalikan dari matriks kedua. Pembagian dua matriks [A] [B] ditulis sebagai berikut: [A] * [B] atau [B] * [A].
Jika matriks [B] tidak bujur sangkar, atau jika determinannya adalah 0, tuliskan "tidak ada solusi yang tidak ambigu". Jika tidak, cari determinan matriks [B] dan lanjutkan ke langkah berikutnya.
Temukan kebalikannya: [B].
Kalikan matriks untuk mencari [A] * [B] atau [B] * [A]. Ingatlah bahwa urutan perkalian matriks akan mempengaruhi hasil akhir (yaitu, hasilnya mungkin berbeda).

Langkah

Bagian 1 dari 3: Menguji Pembagian Matriks

1 Memahami "pembagian" matriks. Faktanya, matriks tidak dapat dibagi. Tidak ada operasi matematika seperti "membagi satu matriks dengan yang lain". Pembagian diganti dengan mengalikan satu matriks dengan kebalikan dari matriks kedua. Artinya, notasi [A] [B] tidak benar, sehingga diganti dengan notasi berikut: [A] * [B]. Karena kedua entri setara dalam hal nilai skalar, secara teoritis kita dapat berbicara tentang "pembagian" matriks, tetapi masih lebih baik menggunakan terminologi yang benar.
- Perhatikan bahwa [A] * [B] dan [B] * [A] adalah operasi yang berbeda. Mungkin perlu untuk melakukan kedua operasi untuk menemukan semua solusi yang mungkin.
- Misalnya, alih-alih ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ tuliskan ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Anda mungkin harus menghitung ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ untuk mendapatkan hasil yang berbeda.
2 Pastikan matriks yang Anda "bagi" dengan matriks lainnya adalah persegi. Untuk membalikkan suatu matriks (menemukan invers suatu matriks), matriks itu harus persegi, yaitu dengan jumlah baris dan kolom yang sama. Jika matriks terbalik tidak terbalik, tidak ada solusi yang pasti.
- Sekali lagi, matriks tidak "dapat dibagi" di sini. Dalam operasi [A] * [B], kondisi yang dijelaskan mengacu pada matriks [B]. Dalam contoh kita, kondisi ini mengacu pada matriks ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Sebuah matriks yang dapat dibalik disebut non-degenerate atau regular. Matriks yang tidak dapat dibalik disebut degenerasi atau singular.
3 Periksa apakah kedua matriks dapat dikalikan. Untuk mengalikan dua matriks, jumlah kolom pada matriks pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Jika kondisi ini tidak terpenuhi pada entri [A] * [B] atau [B] * [A], tidak ada solusi.
- Misalnya, jika ukuran matriks [A] adalah 4 x 3 dan ukuran matriks [B] adalah 2 x 2, maka tidak ada solusi. Anda tidak dapat mengalikan [A] * [B] karena 4 2, dan Anda tidak dapat mengalikan [B] * [A] karena 2 3.
- Perhatikan bahwa matriks invers [B] selalu memiliki jumlah baris dan kolom yang sama dengan matriks awal [B]. Tidak perlu mencari matriks invers untuk memastikan bahwa dua matriks dapat dikalikan.
- Dalam contoh kita, ukuran kedua matriks adalah 2 x 2, sehingga dapat dikalikan dalam urutan apa pun.
4 Tentukan determinan matriks 2 × 2. Ingat: Anda dapat membalikkan matriks hanya jika determinannya tidak nol (jika tidak, Anda tidak dapat membalikkan matriks). Berikut cara mencari determinan matriks 2 x 2:
- 2 x 2 Matriks: determinan matriks ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ sama dengan ad - bc. Yaitu, dari produk elemen diagonal utama (melewati sudut kiri atas dan kanan bawah), kurangi produk elemen diagonal lainnya (melewati sudut kanan atas dan kiri bawah).
- Misalnya, determinan matriks ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ sama dengan (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Determinannya bukan nol, sehingga matriks ini dapat dibalik.
5 Tentukan determinan dari matriks yang lebih besar. Jika ukuran matriks 3 x 3 atau lebih, determinannya sedikit lebih sulit untuk dihitung.
- 3 x 3 matriks: pilih item apa saja dan coret baris dan kolom tempat item tersebut berada.Temukan determinan dari matriks 2 × 2 yang dihasilkan, lalu kalikan dengan elemen yang dipilih; tentukan tanda determinan dalam tabel khusus. Ulangi proses ini untuk dua item lainnya yang berada di baris atau kolom yang sama dengan item yang Anda pilih. Kemudian cari jumlah (tiga) determinan yang diterima. Baca artikel ini untuk informasi lebih lanjut tentang cara mencari determinan matriks 3 x 3.
- Matriks besar: determinan matriks tersebut paling baik dicari dengan kalkulator grafik atau perangkat lunak. Metode ini mirip dengan metode untuk mencari determinan matriks 3 × 3, tetapi agak membosankan untuk menerapkannya secara manual. Misalnya, untuk mencari determinan matriks 4 x 4, Anda perlu mencari determinan dari empat matriks 3 x 3.
6 Lanjutkan perhitungan. Jika matriks tidak persegi atau jika determinannya sama dengan nol, tulis "tidak ada solusi yang tidak ambigu", yaitu, proses perhitungan selesai. Jika matriksnya persegi dan memiliki determinan bukan nol, lewati ke bagian berikutnya.

Bagian 2 dari 3: Menemukan Matriks Invers

1 Tukar elemen-elemen diagonal utama matriks 2 x 2. Diberikan matriks 2 × 2, gunakan metode kebalikan cepat. Pertama, tukar elemen kiri atas dan elemen kanan bawah. Sebagai contoh:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Catatan: kebanyakan orang menggunakan kalkulator untuk membalikkan matriks 3 x 3 (atau lebih besar). Jika Anda perlu melakukannya secara manual, lanjutkan ke akhir bagian ini.
2 Jangan menukar dua elemen yang tersisa, tetapi ubah tandanya. Yaitu, kalikan elemen kanan atas dan elemen kiri bawah dengan -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Temukan kebalikan dari determinan. Determinan matriks ini telah ditemukan di bagian sebelumnya, jadi kami tidak akan menghitungnya lagi. Invers dari determinan ditulis sebagai berikut: 1 / (determinan):
- Dalam contoh kita, determinannya adalah 13. Nilai terbalik: ${ gaya tampilan { frac {1} {13}}}$ .
4 Kalikan matriks yang dihasilkan dengan kebalikan dari determinan. Kalikan setiap elemen matriks baru dengan invers determinan. Matriks terakhir akan menjadi kebalikan dari matriks 2 x 2 asli:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} akhir {pmatriks}}}$
5 Periksa apakah perhitungannya benar. Untuk melakukan ini, kalikan matriks asli dengan kebalikannya. Jika perhitungannya benar, hasil kali matriks asal dengan kebalikannya akan menghasilkan matriks identitas: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Jika tes berhasil, lanjutkan ke bagian berikutnya.
- Dalam contoh kami: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatriks}}}$ .
- Untuk informasi lebih lanjut tentang cara mengalikan matriks, baca artikel ini.
- Catatan: operasi perkalian matriks tidak komutatif, yaitu orde matriks penting. Tetapi ketika matriks asli dikalikan dengan kebalikannya, urutan apa pun mengarah ke matriks identitas.
6 Tentukan invers matriks 3 x 3 (atau lebih besar). Jika Anda sudah terbiasa dengan proses ini, lebih baik menggunakan kalkulator grafik atau perangkat lunak khusus. Jika Anda perlu mencari matriks invers secara manual, prosesnya akan dijelaskan secara singkat di bawah ini:
- Bergabunglah dengan matriks identitas I di sisi kanan matriks asli. Misalnya, [B] → [B | SAYA]. Untuk matriks identitas, semua elemen diagonal utama sama dengan 1, dan semua elemen lainnya sama dengan 0.
- Sederhanakan matriks sehingga ruas kirinya menjadi berundak; lanjutkan penyederhanaan sehingga ruas kiri menjadi matriks identitas.
- Setelah disederhanakan, matriks akan berbentuk sebagai berikut: [I | B]. Artinya, sisi kanannya adalah kebalikan dari matriks aslinya.

Bagian 3 dari 3: Perkalian matriks

1 Tuliskan dua kemungkinan ekspresi. Operasi perkalian dua skalar bersifat komutatif, yaitu 2 x 6 = 6 x 2.Ini tidak terjadi dalam kasus perkalian matriks, jadi Anda mungkin harus menyelesaikan dua ekspresi:
- x = [A] * [B] adalah solusi dari persamaan x[B] = [A].
- x = [B] * [A] adalah solusi untuk persamaan [B]x = [A].
- Lakukan setiap operasi matematika di kedua sisi persamaan. Jika [A] = [C] maka [B] [A] [C] [B] karena [B] berada di sebelah kiri [A] tetapi di sebelah kanan [C].
2 Tentukan ukuran matriks akhir. Ukuran matriks akhir tergantung pada ukuran matriks yang dikalikan. Jumlah baris pada matriks akhir sama dengan jumlah baris pada matriks pertama, dan jumlah kolom pada matriks akhir sama dengan jumlah kolom pada matriks kedua.
- Dalam contoh kita, ukuran kedua matriks ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ dan ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} akhir {pmatriks}}}$ adalah 2 x 2, jadi ukuran matriks aslinya adalah 2 x 2.
- Pertimbangkan contoh yang lebih kompleks: jika ukuran matriks [A] adalah 4 x 3, dan ukuran matriks [B] adalah 3 x 3, maka matriks akhir [A] * [B] akan menjadi 4 x 3.
3 Temukan nilai elemen pertama. Baca artikel ini atau ingat langkah-langkah dasar berikut:
- Untuk mencari elemen pertama (baris pertama, kolom pertama) dari matriks akhir [A] [B], hitunglah perkalian titik dari elemen-elemen baris pertama matriks [A] dan elemen-elemen kolom pertama matriks [B] ]. Dalam kasus matriks 2 x 2, produk titik dihitung sebagai berikut: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Dalam contoh kami: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Dengan demikian, elemen pertama dari matriks akhir akan menjadi elemen:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ gaya tampilan = 3 + -4}$
  ${ gaya tampilan = -1}$
4 Lanjutkan menghitung produk titik untuk menemukan setiap elemen dari matriks akhir. Misalnya, elemen yang terletak pada baris kedua dan kolom pertama sama dengan hasil kali titik dari baris kedua matriks [A] dan kolom pertama matriks [B]. Cobalah untuk menemukan item yang tersisa sendiri. Anda harus mendapatkan hasil berikut:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 akhir {pmatriks}}}$
- Jika Anda perlu mencari solusi lain: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 akhir {pmatriks}}}$

Tips

Matriks dapat dibagi menjadi skalar; untuk ini, setiap elemen matriks dibagi dengan skalar.
- Misalnya, jika matriks ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ dibagi 2, Anda mendapatkan matriks ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Peringatan

Kalkulator tidak selalu memberikan hasil yang benar-benar akurat dalam hal perhitungan matriks. Misalnya, jika kalkulator mengklaim bahwa item tersebut adalah angka yang sangat kecil (seperti 2E), nilainya kemungkinan besar adalah nol.