Isi

• Melangkah
• Metode 1 dari 2: Menarik akar dengan faktor prima
• Metode 2 dari 2: Mencari akar kuadrat tanpa kalkulator
• Dengan pembagian yang panjang
• Pahami prosedurnya
• Tips
• Peringatan

Sebelum munculnya kalkulator, baik mahasiswa maupun profesor harus menghitung akar kuadrat dengan pena dan kertas. Berbagai teknik dikembangkan pada saat itu untuk menangani pekerjaan yang terkadang sulit ini, beberapa di antaranya memberikan perkiraan kasar dan yang lainnya menghitung nilai pastinya. Baca terus untuk mengetahui cara mencari akar kuadrat dari sebuah bilangan dengan beberapa langkah mudah.

Melangkah

Metode 1 dari 2: Menarik akar dengan faktor prima

1. Bagilah bilangan Anda menjadi faktor-faktor daya. Metode ini menggunakan faktor-faktor sebuah bilangan untuk mencari akar kuadrat dari sebuah bilangan (tergantung pada angkanya, ini bisa berupa jawaban eksak atau perkiraan). Itu faktor dari bilangan tertentu adalah deretan bilangan apa pun yang dikalikan bersama untuk membentuk bilangan tertentu itu. Misalnya, Anda dapat mengatakan bahwa faktor-faktor dari 8 sama dengan 2 dan 4 karena 2 × 4 = 8. Sebaliknya, kuadrat sempurna adalah bilangan bulat yang merupakan hasil kali dari bilangan bulat lainnya. Misalnya, 25, 36, dan 49 adalah kuadrat sempurna karena keduanya sama dengan 5, 6, dan 7. Faktor daya kedua, seperti yang sudah Anda pahami, adalah faktor yang juga merupakan kuadrat sempurna. Untuk mencari akar kuadrat menggunakan faktor prima, pertama-tama coba bagi bilangan tersebut menjadi faktor pangkat keduanya.
   • Ambil contoh berikut. Kita akan mencari akar kuadrat dari 400. Untuk memulainya, kami membagi angka tersebut menjadi faktor-faktor daya. Karena 400 adalah kelipatan 100, kita tahu bahwa itu habis habis dibagi 25 - kuadrat sempurna. Hafalan singkat memberi tahu kita bahwa 400/25 = 16,16 juga merupakan kuadrat sempurna. Jadi faktor kubus dari 400 adalah 25 dan 16 karena 25 × 16 = 400.
   • Kami menulis ini sebagai: Akar (400) = Akar (25 × 16)
2. Hitung akar kuadrat dari faktor pangkat kedua Anda. Aturan hasil kali akar kuadrat menyatakan bahwa untuk bilangan apa pun Sebuah dan b, Akar (a × b) = Akar (a) × Akar (b). Karena sifat ini, sekarang kita dapat mengambil akar kuadrat dari faktor-faktor kuadrat dan mengalikannya untuk mendapatkan jawabannya.
   • Dalam contoh kita, kita ambil akar kuadrat dari 25 dan 16. Lihat di bawah:
     • Persegi (25 × 16)
     • Akar (25) × Akar (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Jika bilangan Anda tidak dapat difaktorkan dengan sempurna, sederhanakan. Pada kenyataannya, bilangan yang ingin Anda tentukan akar kuadratnya bukanlah bilangan bulat bagus dengan kuadrat bagus seperti 400. Dalam kasus ini, mungkin tidak mungkin untuk mendapatkan bilangan bulat sebagai jawabannya. Alih-alih, dengan menggunakan semua faktor pangkat yang bisa Anda temukan, Anda bisa menentukan jawabannya sebagai akar kuadrat yang lebih kecil dan lebih mudah digunakan. Caranya dengan mereduksi bilangan tersebut menjadi kombinasi faktor daya dan faktor lain, lalu menyederhanakannya.
   • Kami mengambil akar kuadrat dari 147 sebagai contoh. 147 bukanlah hasil perkalian dua kuadrat sempurna, jadi kita tidak bisa mendapatkan nilai bilangan bulat yang bagus. Tetapi ini adalah hasil kali kuadrat sempurna dan angka lain - 49 dan 3. Kita dapat menggunakan informasi ini untuk menuliskan jawaban kita dalam istilah yang paling sederhana:
     • Persegi (147)
     • = Akar (49 × 3)
     • = Akar (49) × Akar (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Sederhanakan, jika perlu. Menggunakan akar kuadrat dalam suku-suku yang paling sederhana, biasanya cukup mudah untuk mendapatkan perkiraan kasar dari jawabannya dengan mengestimasi sisa akar kuadrat dan mengalikannya. Salah satu cara untuk meningkatkan tebakan Anda adalah dengan mencari kuadrat sempurna di kedua sisi bilangan dalam akar kuadrat Anda. Anda tahu bahwa nilai desimal dari angka dalam akar kuadrat Anda berada di antara kedua angka ini, jadi tebakan Anda juga harus berada di antara angka-angka ini.
   • Mari kembali ke contoh kita. Karena 2 = 4 dan 1 = 1, kita tahu bahwa Akar (3) berada di antara 1 dan 2 - mungkin lebih dekat ke 2 daripada 1. Kita memperkirakan bahwa 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Jika kita memeriksanya dengan kalkulator, kita melihat bahwa kita cukup dekat dengan jawabannya: 12,13.
     • Ini juga berlaku untuk bilangan yang lebih besar. Misalnya, akar (35) kira-kira antara 5 dan 6 (mungkin lebih dekat dengan 6). 5 = 25 dan 6 = 36,35 berada di antara 25 dan 36, jadi akar kuadratnya akan berada di antara 5 dan 6. Karena 35 tepat di bawah 36, kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa akar kuadratnya hanya kurang dari 6. Memeriksa dengan kalkulator memberi kami jawaban sekitar 5,92 - kami benar.
5. Cara lainnya, sebagai langkah pertama, Anda dapat menyederhanakan angka menjadi kelipatan persekutuan terkecil. Pencarian faktor daya tidak diperlukan jika Anda dapat dengan mudah menemukan faktor prima dari sebuah bilangan (faktor yang juga merupakan bilangan prima pada saat yang sama). Tuliskan bilangan tersebut dalam suku-suku kelipatan persekutuan terkecil. Kemudian cari di antara faktor-faktor Anda untuk menemukan pasangan bilangan prima yang cocok. Jika Anda menemukan dua faktor prima yang cocok, singkirkan dari akar kuadrat dan tempatnya Sebuah dari angka-angka ini di luar tanda akar kuadrat.
   • Misalnya, kami menentukan akar kuadrat dari 45 menggunakan metode ini. Kita tahu bahwa 45 = 9 × 5 dan 9 = 3 × 3. Jadi kita bisa menulis akar kuadrat seperti ini: Akar (3 × 3 × 5). Hapus saja 3 dan letakkan 3 di luar akar kuadrat untuk mendapatkan akar kuadrat yang disederhanakan: (3) Akar (5). Sekarang Anda dapat dengan mudah membuat perkiraan.
   • Contoh terakhir; kami menentukan akar kuadrat dari 88:
     • Persegi (88)
     • = Akar (2 × 44)
     • = Akar (2 × 4 × 11)
     • = Akar (2 × 2 × 2 × 11). Kami memiliki beberapa 2 di akar kuadrat kami. Karena 2 adalah bilangan prima, kita dapat menghapus pasangan dan menempatkan 2 di luar akar.
     • = Akar kuadrat kita secara sederhana adalah (2) Akar (2 × 11) atau (2) Akar (2) Akar (11). Sekarang kita dapat mendekati Akar (2) dan Akar (11) dan menemukan jawaban perkiraan, jika kita mau.

Metode 2 dari 2: Mencari akar kuadrat tanpa kalkulator

Dengan pembagian yang panjang

1. Bagilah angka-angka Anda menjadi pasangan-pasangan. Cara ini mirip dengan pembagian panjang, yang memungkinkan Anda untuk membagi tepat akar kuadrat dari angka digit demi digit. Meskipun tidak penting, memecah angka menjadi bagian yang bisa dikerjakan dapat membuat penyelesaian lebih mudah, terutama jika itu panjang. Pertama gambar garis vertikal yang membagi area kerja menjadi 2 area, kemudian garis yang lebih pendek di dekat bagian atas area kanan, membaginya menjadi bagian atas yang lebih kecil dan bagian yang lebih besar di bawah. Kemudian bagi bilangan tersebut menjadi pasangan-pasangan bilangan, dimulai dari koma desimal. Di bawah aturan ini, 79520789182.47897 menjadi "7 95 20 78 91 82.47 89 70". Tuliskan angka ini di kiri atas.
   • Sebagai contoh, mari kita hitung akar kuadrat dari 780,14. Bagilah ruang kerja Anda seperti di atas dan tulis "7 80, 14" di pojok kiri atas. Tidak apa-apa jika hanya ada satu angka di paling kiri, bukan dua. Anda kemudian menulis jawabannya (akar kuadrat dari 780,14) di atas area kanan.
2. Temukan bilangan bulat terbesar n yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan digit atau angka paling kiri. Temukan kuadrat terbesar yang kurang dari atau sama dengan bilangan ini, lalu cari akar kuadrat dari kuadrat ini. Nomor ini adalah n. Tuliskan di area kanan atas dan tulis kuadran n di kuadran bawah area tersebut.
   • Dalam contoh kita, digit paling kiri adalah angka 7. Karena kita tahu bahwa 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, kita dapat mengatakan bahwa n = 2 karena ini adalah bilangan bulat terbesar yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan 7. Tulis 2 di kuadran kanan atas. Ini adalah digit pertama dari jawabannya. Tuliskan 4 (kuadrat dari 2) di kuadran kanan bawah. Angka ini penting untuk langkah selanjutnya.
3. Kurangi angka yang Anda hitung dari digit atau angka paling kiri. Untuk pembagian panjang, langkah selanjutnya adalah mengurangi kuadrat dari bilangan yang baru saja kita gunakan untuk kalkulasi. Tuliskan angka ini di bawah angka paling kiri dan kurangi. Tulis jawabannya di bawah ini.
   • Dalam contoh kami, kami menulis angka 4 di bawah 7 dan menguranginya. Ini memberi 3 sebagai tanggapan.
4. Pindahkan nomor berikutnya ke bawah. Tempatkan ini di sebelah nilai yang Anda temukan di edit sebelumnya. Kalikan angka di kanan atas dengan dua dan tuliskan di kanan bawah. Beri jarak di sebelah angka yang baru saja Anda tulis untuk jumlah yang akan Anda lakukan di langkah berikutnya. Tulis di sini "_ × _ =" ".
   • Dalam contoh kita, angka selanjutnya adalah "80". Tuliskan "80" di sebelah 3 di kuadran kiri. Kemudian kalikan angka di kanan atas dengan 2. Angka ini adalah 2, jadi 2 × 2 = 4. Tuliskan "" 4 "" di kanan bawah, diikuti dengan _×_=.
5. Masukkan nomor di sebelah kanan. Di ruang kosong penjumlahan (kanan), masukkan bilangan bulat terbesar yang akan membuat hasil perkalian di sebelah kanan kurang dari atau sama dengan bilangan sekarang di sebelah kiri.
   • Dalam contoh kita, kita memasukkan 8, dan hasilnya adalah 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Ini lebih besar dari 380. Jadi 8 terlalu besar, tetapi 7 mungkin tidak. Isi 7 dan selesaikan: 4 (7) × 7 = 329. 7 bagus karena 329 lebih kecil dari 380. Tulis 7 di kanan atas. Ini adalah digit kedua di akar kuadrat dari 780,14.
6. Kurangi angka yang baru saja Anda hitung dari angka saat ini di sebelah kiri. Jadi, Anda mengurangi hasil perkalian di kanan dari jawaban saat ini di sebelah kiri. Tulis jawaban Anda tepat di bawahnya.
   • Dalam contoh kita, kita mengurangi 329 dari 380, dan hasilnya adalah 51 sebagai hasil.
7. Ulangi langkah 4. Turunkan pasangan angka berikutnya dari 780,14. Saat Anda menemukan koma, tulis koma itu di jawaban sebelah kanan. Kemudian kalikan angka kanan atas dengan 2 dan tulis jawabannya di sebelah ("_ × _") seperti di atas.
   • Dalam jawaban kami, kami sekarang menulis koma karena kami juga menemukan ini di 780,14. Pindahkan pasangan berikutnya (14) ke bawah kuadran kiri. 27 x 2 = 54, jadi kita tulis "54 _ × _ =" di kuadran kanan bawah.
8. Ulangi langkah 5 dan 6. Temukan angka terbesar yang memberikan jawaban kurang dari atau sama dengan angka saat ini di sebelah kiri. Memecahkan.
   • Dalam contoh kita, 549 × 9 = 4941, yang kurang dari atau sama dengan bilangan di sebelah kiri (5114). 549 × 10 = 5490, yang terlalu tinggi, jadi 9 adalah jawaban kita. Tulis 9 sebagai angka kanan atas berikutnya dan kurangi hasil perkaliannya dengan angka kiri: 5114 -4941 = 173.
9. Agar hasilnya akurat, ulangi prosedur sebelumnya hingga Anda menemukan jawaban dengan jumlah tempat desimal (per seratus, per seribu) yang Anda butuhkan.

Pahami prosedurnya

1. Pertimbangkan bilangan yang akar kuadratnya ingin Anda hitung sebagai luas S dari sebuah persegi. Karena luas persegi adalah L, dengan L adalah panjang salah satu sisinya, maka dengan mencari akar kuadrat dari bilangan Anda, Anda mencoba menghitung panjang L dari sisi persegi tersebut.
2. Berikan setiap digit jawaban Anda sebuah huruf. Masukkan variabel A sebagai digit pertama L (akar kuadrat yang akan kita hitung). B adalah digit kedua, C digit ketiga, dan seterusnya.
3. Berikan sebuah huruf untuk setiap "pasangan angka" dari nomor yang Anda awali. Berikan variabel S_Sebuah ke pasangan angka pertama di S (nilai awal), S._b ke pasangan digit kedua, dll.
4. Pahami hubungan antara metode ini dan pembagian panjang. Metode mencari akar kuadrat ini pada dasarnya adalah pembagian panjang, di mana Anda membagi nilai awal dengan akar kuadratnya dan "memberikan" akar kuadrat sebagai jawabannya. Seperti pada pembagian panjang, di mana Anda hanya tertarik pada digit berikutnya pada satu waktu, Anda hanya tertarik pada dua digit berikutnya pada satu waktu (yang sesuai dengan digit selanjutnya dari akar kuadrat).
5. Temukan angka terbesar yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan S._Sebuah aku s. Digit pertama A dalam jawaban kita adalah bilangan bulat terbesar yang kuadratnya tidak lebih besar dari S._Sebuah (A sehingga A² ≤ Sa (A + 1) ²). Dalam contoh kami, S_Sebuah = 7, dan 2² ≤ 7 3², jadi A = 2.
   • Perhatikan bahwa jika Anda membagi 88962 dengan 7 menggunakan pembagian panjang, langkah pertama adalah sama: Anda pertama kali berurusan dengan digit pertama dari 88962 (8) dan Anda ingin digit terbesar dikalikan dengan 7 yang kurang dari atau sama dengan 8. Pada dasarnya Anda menentukan d sedemikian sehingga 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). Dalam hal ini, d sama dengan 1.
6. Visualisasikan persegi yang ingin Anda cari luasnya. Jawaban Anda, akar kuadrat dari nilai awal, adalah L, yang menggambarkan panjang persegi dengan luas S (nilai awal). Nilai untuk A, B, dan C mewakili digit dalam nilai L. Cara lain untuk mengatakannya adalah untuk jawaban 2 digit, 10A + B = L, dan untuk jawaban 3 digit, 100A + 10B + C = L, dan seterusnya.
   • Dalam contoh kami (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Ingatlah bahwa 10A + B mewakili jawaban kita L bersama dengan B di posisi satuan, dan A di posisi puluhan. Misalnya, jika A = 1 dan B = 2, maka 10A + B adalah angka 12. (10A + B) ² adalah luas dari keseluruhan bujur sangkar, sedangkan 100A² adalah luas persegi dalam terbesar, B² adalah luas persegi terkecil dan 10A × B adalah luas setiap persegi panjang yang tersisa. Melalui prosedur yang panjang dan rumit ini, kita bisa mencari luas seluruh persegi dengan menjumlahkan luas persegi dan persegi panjang yang menjadi bagiannya.
7. Kurangi A² dari S._Sebuah. Bawalah sepasang angka (S._b) turun dari angka S. S._Sebuah S._b adalah hampir total luas persegi, yang baru saja Anda kurangi dengan luas persegi dalam terbesar. Sisanya adalah, katakanlah, angka N1, yang kita peroleh pada langkah 4 (N1 = 380 dalam contoh kita). N1 sama dengan 2 × 10A × B + B² (luas dari 2 persegi panjang ditambah luas persegi kecil).
8. Perhatikan N1 = 2 × 10A × B + B², juga ditulis sebagai N1 = (2 × 10A + B) × B. Dalam contoh kita, Anda sudah mengetahui N1 (380) dan A (2), jadi sekarang Anda perlu mencari B. B mungkin bukan bilangan bulat, jadi Anda harus melakukannya sebenarnya temukan bilangan bulat terbesar B, sehingga (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Jadi sekarang Anda memiliki: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Pecahkan persamaannya. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kalikan A dengan 2, pindahkan ke sepuluh (kalikan dengan 10), masukkan B ke dalam satuan, dan kalikan hasilnya dengan B. Dengan kata lain, (2 × 10A + B) × B. persis apa yang Anda lakukan ketika Anda menulis "N_ × _ =" (dengan N = 2 × A) di kuadran kanan bawah di langkah 4. Pada langkah 5 Anda menentukan bilangan bulat terbesar B yang pas di bawah garis, jadi (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Kurangi luas (2 × 10A + B) × B dari total luasnya. Hasilnya adalah luas S- (10A + B) ² yang belum Anda perhitungkan (dan yang Anda gunakan untuk menghitung angka-angka berikut dengan cara yang sama).
11. Untuk menghitung digit C berikutnya, ulangi prosedurnya. Pindahkan pasangan angka berikutnya dari S ke bawah (S_c) untuk membawa N2 ke kiri, dan mencari C terbesar sehingga sekarang Anda memiliki: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (sama dengan dua kali angka dua digit "AB" yang diikuti dengan "_ × _ =" Sekarang tentukan angka terbesar yang dapat Anda masukkan di sini, yang akan memberi Anda jawaban yang kurang dari atau sama dengan N2.

Tips

• Memindahkan koma dua tempat (faktor 100) memindahkan koma di akar kuadrat yang sesuai dengan satu tempat (faktor 10).
• Dalam contoh, 1,73 dapat dianggap "sisa": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Metode ini berfungsi untuk sistem bilangan apa pun, bukan hanya sistem desimal (desimal).
• Jangan ragu untuk menempatkan kalkulasi di tempat yang Anda inginkan. Beberapa orang menuliskannya di atas angka yang ingin mereka hitung akar kuadratnya.
• Metode alternatifnya adalah sebagai berikut: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Misalnya, untuk menghitung akar kuadrat dari 780,14, ambil bilangan bulat yang kuadratnya paling dekat dengan 780,14 (28), jadi = 780,14, x = 28, dan y = -3,86. Mengisi dan memperkirakan memberi kita x + y / (2x) dan ini memberikan (istilah yang disederhanakan) 78207/2800 atau sekitar 27,931 (1); istilah berikut, 4374188/156607 atau sekitar 27.930986 (5). Setiap suku menambahkan sekitar 3 tempat desimal presisi ke yang sebelumnya.

Peringatan

• Pastikan untuk membagi bilangan tersebut menjadi pasangan-pasangan dari koma desimal. Membagi 79520789182.47897 sebagai "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "memberikan hasil yang salah.