Isi

• Informasi awal
• Langkah
• Bagian 1 dari 3: Dasar-dasar
• Bagian 2 dari 3: Sifat-sifat Transformasi Laplace
• Bagian 3 dari 3: Menemukan Transformasi Laplace dengan Perluasan Deret

Transformasi Laplace merupakan transformasi integral yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan koefisien konstan. Transformasi ini banyak digunakan dalam fisika dan teknik.

Meskipun Anda dapat menggunakan tabel yang sesuai, akan sangat membantu untuk memahami transformasi Laplace sehingga Anda dapat melakukannya sendiri jika perlu.

Informasi awal

• Diberikan sebuah fungsi ${} gaya tampilan f (t)}$didefinisikan untuk ${ gaya tampilan t geq 0.}$ Kemudian Transformasi Laplace fungsi ${} gaya tampilan f (t)}$ adalah fungsi selanjutnya dari setiap nilai ${ gaya tampilan s}$, di mana integral konvergen:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} T}$
• Transformasi Laplace mengambil fungsi dari daerah-t (skala waktu) ke daerah-s (daerah transformasi), di mana ${} gaya tampilan F (s)}$ adalah fungsi kompleks dari variabel kompleks. Ini memungkinkan Anda untuk memindahkan fungsi ke area di mana solusi dapat ditemukan dengan lebih mudah.
• Jelas, transformasi Laplace adalah operator linier, jadi jika kita berurusan dengan jumlah suku, setiap integral dapat dihitung secara terpisah.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Ingatlah bahwa transformasi Laplace hanya berfungsi jika integralnya konvergen. Jika fungsi ${} gaya tampilan f (t)}$ memiliki diskontinuitas, perlu kehati-hatian dan menetapkan batas integrasi dengan benar untuk menghindari ketidakpastian.

Langkah

Bagian 1 dari 3: Dasar-dasar

1. 1 Substitusikan fungsi tersebut ke dalam rumus transformasi Laplace. Secara teoritis, transformasi Laplace dari suatu fungsi sangat mudah untuk dihitung. Sebagai contoh, perhatikan fungsi ${ gaya tampilan f (t) = e ^ {at}}$, di mana ${ gaya tampilan a}$ adalah konstanta kompleks dengan ${ displaystyle nama operator {Re} (s) nama operator {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Perkirakan integral dengan menggunakan metode yang tersedia. Dalam contoh kami, perkiraannya sangat sederhana dan Anda dapat melakukannya dengan perhitungan sederhana. Dalam kasus yang lebih kompleks, metode yang lebih kompleks mungkin diperlukan, misalnya, integrasi dengan bagian atau diferensiasi di bawah tanda integral. Kondisi kendala ${ displaystyle nama operator {Re} (s) nama operator {Re} (a)}$ berarti integral tersebut konvergen, yaitu nilainya cenderung ke 0 sebagai ${ gaya tampilan t hingga infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(sebagai) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(sebagai) t}} {sebagai}} Besar _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} akhir {selaras}}}$
   • Perhatikan bahwa ini memberi kita dua jenis transformasi Laplace, dengan sinus dan cosinus, karena menurut rumus Euler ${ gaya tampilan e ^ {iat}}$... Dalam hal ini, dalam penyebut kita dapatkan ${ gaya tampilan s-ia,}$ dan tinggal menentukan bagian real dan imajiner. Anda juga dapat mengevaluasi hasilnya secara langsung, tetapi itu akan memakan waktu lebih lama.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = nama operator {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = nama operator {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Pertimbangkan transformasi Laplace dari fungsi daya. Pertama, Anda perlu mendefinisikan transformasi fungsi daya, karena properti linearitas memungkinkan Anda menemukan transformasi untuk dari semua polinomial. Fungsi dari bentuk ${ gaya tampilan t ^ {n},}$ di mana ${} gaya tampilan n}$ - sembarang bilangan bulat positif. Dapat diintegrasikan sepotong demi sepotong untuk mendefinisikan aturan rekursif.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Hasil ini dinyatakan secara implisit, tetapi jika Anda mengganti beberapa nilai ${} gaya tampilan n,}$ anda dapat membuat pola tertentu (coba lakukan sendiri), yang memungkinkan Anda mendapatkan hasil berikut:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Anda juga dapat menentukan transformasi Laplace dari pangkat pecahan menggunakan fungsi gamma. Misalnya, dengan cara ini Anda dapat menemukan transformasi fungsi seperti ${ gaya tampilan f (t) = { kuadrat {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { kuadrat { pi}} {2 detik { kuadrat {s}}}}}$
   • Meskipun fungsi dengan pangkat pecahan harus memiliki pemotongan (ingat, bilangan kompleks apa pun ${ gaya tampilan z}$ dan ${ gaya tampilan alfa}$ dapat ditulis sebagai ${ gaya tampilan z ^ { alpha}}$, karena ${ displaystyle e ^ { alpha nama operator {Log} z}}$), mereka selalu dapat didefinisikan sedemikian rupa sehingga pemotongan terletak di setengah bidang kiri, dan dengan demikian menghindari masalah dengan analitik.

Bagian 2 dari 3: Sifat-sifat Transformasi Laplace

1. 1 Mari kita cari transformasi Laplace dari fungsi dikalikan dengan eSebuahT{ gaya tampilan e ^ {at}}. Hasil yang diperoleh pada bagian sebelumnya memungkinkan kita untuk mengetahui beberapa sifat menarik dari transformasi Laplace. Transformasi Laplace dari fungsi seperti kosinus, sinus, dan fungsi eksponensial tampaknya lebih sederhana daripada transformasi fungsi pangkat. Perkalian dengan ${ gaya tampilan e ^ {at}}$ di daerah-t sesuai dengan menggeser di wilayah s:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Properti ini segera memungkinkan Anda untuk menemukan transformasi fungsi seperti ${ gaya tampilan f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, tanpa harus menghitung integral:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Mari kita cari transformasi Laplace dari fungsi dikalikan dengan Tn{ gaya tampilan t ^ {n}}. Pertama, pertimbangkan perkalian dengan ${ gaya tampilan t}$... Menurut definisi, seseorang dapat membedakan fungsi di bawah integral dan mendapatkan hasil yang sangat sederhana:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {sejajar}}}$
   • Mengulangi operasi ini, kami mendapatkan hasil akhir:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Meskipun penataan ulang operator integrasi dan diferensiasi memerlukan beberapa pembenaran tambahan, kami tidak akan menyajikannya di sini, tetapi hanya mencatat bahwa operasi ini benar jika hasil akhirnya masuk akal. Anda juga dapat memperhitungkan fakta bahwa variabel ${ gaya tampilan s}$ dan ${ gaya tampilan t}$ tidak saling bergantung.
   • Dengan menggunakan aturan ini, mudah untuk menemukan transformasi fungsi seperti ${ gaya tampilan t ^ {2} cos 2t}$, tanpa reintegrasi oleh bagian:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Tentukan transformasi Laplace dari fungsi tersebut F(SebuahT){} gaya tampilan f (di)}. Ini dapat dilakukan dengan mudah dengan mengganti variabel dengan u menggunakan definisi transformasi:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F kiri ({ frac {s} {a}} kanan) akhir {aligned}}}$
   • Di atas, kami menemukan transformasi fungsi Laplace ${ gaya tampilan sin at}$ dan ${ gaya tampilan cos di}$ langsung dari fungsi eksponensial. Menggunakan properti ini, Anda bisa mendapatkan hasil yang sama jika Anda menemukan bagian nyata dan imajiner ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Tentukan transformasi Laplace dari turunan F′(T){ gaya tampilan f ^ { prime} (t)}. Berbeda dengan contoh sebelumnya, dalam hal ini harus mengintegrasikan sepotong demi sepotong:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Besar _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {sejajar}}}$
   • Karena turunan kedua terjadi pada banyak masalah fisis, kita juga menemukan transformasi Laplace untuknya:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Dalam kasus umum, transformasi Laplace dari turunan orde ke-n didefinisikan sebagai berikut (ini memungkinkan penyelesaian persamaan diferensial menggunakan transformasi Laplace):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Bagian 3 dari 3: Menemukan Transformasi Laplace dengan Perluasan Deret

1. 1 Mari kita cari transformasi Laplace untuk fungsi periodik. Fungsi periodik memenuhi kondisi ${ gaya tampilan f (t) = f (t + nT),}$ di mana ${} gaya tampilan T}$ adalah periode fungsi, dan ${} gaya tampilan n}$ adalah bilangan bulat positif. Fungsi periodik banyak digunakan dalam banyak aplikasi, termasuk pemrosesan sinyal dan teknik elektro. Dengan menggunakan transformasi sederhana, kita mendapatkan hasil berikut:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = jumlah _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = jumlah _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { sejajar}}}$
   • Seperti yang Anda lihat, dalam kasus fungsi periodik, cukup untuk melakukan transformasi Laplace untuk satu periode.
2. 2 Lakukan transformasi Laplace untuk logaritma natural. Dalam hal ini, integral tidak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi dasar. Menggunakan fungsi gamma dan ekspansi deretnya memungkinkan Anda memperkirakan logaritma natural dan derajatnya. Kehadiran konstanta Euler-Mascheroni ${ gaya tampilan gamma}$ menunjukkan bahwa untuk memperkirakan integral ini, perlu menggunakan ekspansi seri.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Pertimbangkan transformasi Laplace dari fungsi sinc yang tidak dinormalisasi. Fungsi ${ displaystyle nama operator {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ banyak digunakan untuk pemrosesan sinyal, dalam persamaan diferensial itu setara dengan fungsi Bessel bola jenis pertama dan orde nol ${ gaya tampilan j_ {0} (x).}$ Transformasi Laplace dari fungsi ini juga tidak dapat dihitung dengan metode standar. Dalam hal ini, transformasi anggota individu dari deret, yang merupakan fungsi daya, dilakukan, sehingga transformasi mereka harus konvergen pada interval tertentu.
   • Pertama, kami menulis perluasan fungsi dalam deret Taylor:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = jumlah _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Sekarang kita menggunakan transformasi Laplace yang sudah diketahui dari fungsi daya. Faktorial dibatalkan, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan ekspansi Taylor untuk arctangent, yaitu deret bolak-balik yang menyerupai deret Taylor untuk sinus, tetapi tanpa faktorial:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = jumlah _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {sejajar}}}$