Isi

• Langkah
• Metode 1 dari 3: Cara menyelesaikan persamaan kubik tanpa suku konstan
• Metode 2 dari 3: Cara Menemukan Seluruh Akar Menggunakan Pengganda
• Metode 3 dari 3: Cara Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Diskriminan

Dalam persamaan kubik, eksponen tertinggi adalah 3, persamaan tersebut memiliki 3 akar (solusi) dan memiliki bentuk ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Beberapa persamaan kubik tidak begitu mudah untuk dipecahkan, tetapi jika Anda menerapkan metode yang tepat (dengan latar belakang teoretis yang baik), Anda dapat menemukan akar dari persamaan kubik yang paling kompleks sekalipun - untuk ini gunakan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, temukan seluruh akar, atau menghitung diskriminan.

Langkah

Metode 1 dari 3: Cara menyelesaikan persamaan kubik tanpa suku konstan

1. 1 Cari tahu apakah ada istilah bebas dalam persamaan kubik D{} gaya tampilan d}. Persamaan kubik memiliki bentuk ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Agar persamaan dianggap kubik, cukup hanya suku ${ gaya tampilan x ^ {3}}$ (yaitu, mungkin tidak ada anggota lain sama sekali).
   • Jika persamaan memiliki suku bebas ${} gaya tampilan d}$, gunakan metode yang berbeda.
   • Jika dalam persamaan ${ gaya tampilan a = 0}$, bukan kubik.
2. 2 Keluarkan dari kurung x{ gaya tampilan x}. Karena tidak ada istilah bebas dalam persamaan, setiap istilah dalam persamaan termasuk variabel ${ gaya tampilan x}$... Ini berarti satu ${ gaya tampilan x}$ dapat dikeluarkan dari tanda kurung untuk menyederhanakan persamaan. Dengan demikian, persamaan akan ditulis seperti ini: ${ gaya tampilan x (kapak ^ {2} + bx + c)}$.
   • Misalnya, diberikan persamaan kubik ${ gaya tampilan 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Mengambil ${ gaya tampilan x}$ tanda kurung dan dapatkan ${ gaya tampilan x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Faktorkan (produk dari dua binomial) persamaan kuadrat (jika mungkin). Banyak persamaan kuadrat berbentuk ${ gaya tampilan kapak ^ {2} + bx + c = 0}$ dapat difaktorkan. Persamaan seperti itu akan berubah jika kita mengeluarkan ${ gaya tampilan x}$ di luar kurung. Dalam contoh kami:
   • Keluarkan dari kurung ${ gaya tampilan x}$: ${ gaya tampilan x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Faktorkan persamaan kuadrat: ${ gaya tampilan x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Samakan setiap bin dengan ${} gaya tampilan 0}$... Akar persamaan ini adalah ${ gaya tampilan x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan rumus khusus. Lakukan ini jika persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan. Untuk menemukan dua akar persamaan, nilai koefisien ${ gaya tampilan a}$, ${ gaya tampilan b}$, ${ gaya tampilan c}$ substitusikan ke rumus ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Dalam contoh kita, substitusikan nilai koefisien ${ gaya tampilan a}$, ${ gaya tampilan b}$, ${ gaya tampilan c}$ (${} gaya tampilan 3}$, ${} gaya tampilan -2}$, ${} gaya tampilan 14}$) ke dalam rumus:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Akar pertama:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ gaya tampilan { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Akar kedua:

     ${ gaya tampilan { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Gunakan nol dan akar kuadrat sebagai solusi persamaan kubik. Persamaan kuadrat memiliki dua akar, sedangkan persamaan kubik memiliki tiga. Anda telah menemukan dua solusi - ini adalah akar dari persamaan kuadrat. Jika Anda meletakkan "x" di luar tanda kurung, solusi ketiga adalah ${} gaya tampilan 0}$.
   • Jika Anda mengeluarkan "x" dari tanda kurung, Anda mendapatkan ${ gaya tampilan x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, yaitu, dua faktor: ${ gaya tampilan x}$ dan persamaan kuadrat dalam tanda kurung. Jika salah satu dari faktor-faktor ini adalah ${} gaya tampilan 0}$, seluruh persamaan juga sama dengan ${} gaya tampilan 0}$.
   • Jadi, dua akar persamaan kuadrat adalah solusi dari persamaan kubik. Solusi ketiga adalah ${ gaya tampilan x = 0}$.

Metode 2 dari 3: Cara Menemukan Seluruh Akar Menggunakan Pengganda

1. 1 Pastikan ada suku bebas dalam persamaan kubik D{} gaya tampilan d}. Jika dalam persamaan bentuk ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ ada anggota gratis ${} gaya tampilan d}$ (yang tidak sama dengan nol), tidak akan berfungsi untuk meletakkan "x" di luar tanda kurung. Dalam hal ini, gunakan metode yang diuraikan di bagian ini.
   • Misalnya, diberikan persamaan kubik ${ gaya tampilan 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Untuk mendapatkan nol di ruas kanan persamaan, tambahkan ${} gaya tampilan 6}$ ke kedua sisi persamaan.
   • Persamaan akan menjadi ${ gaya tampilan 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Sebagai ${ gaya tampilan d = 6}$, metode yang dijelaskan di bagian pertama tidak dapat digunakan.
2. 2 Tuliskan faktor-faktor dari koefisien Sebuah{ gaya tampilan a} dan anggota gratis D{} gaya tampilan d}. Yaitu, temukan faktor-faktor dari bilangan di ${ gaya tampilan x ^ {3}}$ dan angka di depan tanda sama dengan. Ingatlah bahwa faktor-faktor suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan tersebut.
   • Misalnya, untuk mendapatkan nomor 6, Anda perlu mengalikan ${ gaya tampilan 6 kali 1}$ dan ${ gaya tampilan 2 kali 3}$... Jadi angkanya 1, 2, 3, 6 adalah faktor bilangan 6.
   • Dalam persamaan kita ${ gaya tampilan a = 2}$ dan ${ gaya tampilan d = 6}$... Pengganda 2 adalah 1 dan 2... Pengganda 6 adalah angka-angkanya? 1, 2, 3 dan 6.
3. 3 Bagilah setiap faktor Sebuah{ gaya tampilan a} untuk setiap faktor D{} gaya tampilan d}. Hasilnya, Anda mendapatkan banyak pecahan dan beberapa bilangan bulat; akar persamaan kubik akan menjadi salah satu bilangan bulat atau nilai negatif dari salah satu bilangan bulat.
   • Dalam contoh kita, bagilah faktor-faktornya ${ gaya tampilan a}$ (1 dan 2) berdasarkan faktor ${} gaya tampilan d}$ (1, 2, 3 dan 6). Anda akan mendapatkan: ${} gaya tampilan 1}$, ${ gaya tampilan { frac {1} {2}}}$, ${ gaya tampilan { frac {1} {3}}}$, ${ gaya tampilan { frac {1} {6}}}$, ${} gaya tampilan 2}$ dan ${ gaya tampilan { frac {2} {3}}}$... Sekarang tambahkan nilai negatif dari pecahan dan angka yang diperoleh ke daftar ini: ${} gaya tampilan 1}$, ${ gaya tampilan -1}$, ${ gaya tampilan { frac {1} {2}}}$, ${ gaya tampilan - { frac {1} {2}}}$, ${ gaya tampilan { frac {1} {3}}}$, ${ gaya tampilan - { frac {1} {3}}}$, ${ gaya tampilan { frac {1} {6}}}$, ${ gaya tampilan - { frac {1} {6}}}$, ${} gaya tampilan 2}$, ${} gaya tampilan -2}$, ${ gaya tampilan { frac {2} {3}}}$ dan ${ gaya tampilan - { frac {2} {3}}}$... Seluruh akar persamaan kubik adalah beberapa angka dari daftar ini.
4. 4 Masukkan bilangan bulat ke dalam persamaan kubik. Jika persamaan benar, bilangan yang disubstitusikan adalah akar persamaan. Misalnya, substitusikan ke dalam persamaan ${} gaya tampilan 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ gaya tampilan 2 + 9 + 13 + 6}$ 0, yaitu, kesetaraan tidak diamati. Dalam hal ini, masukkan nomor berikutnya.
   • Pengganti ${ gaya tampilan -1}$: ${ gaya tampilan (-2) +9 + (- 13) +6}$ = 0. Jadi, ${ gaya tampilan -1}$ adalah seluruh akar persamaan.
5. 5 Gunakan metode pembagian polinomial dengan Skema Horneruntuk menemukan akar persamaan lebih cepat. Lakukan ini jika Anda tidak ingin mengganti angka secara manual ke dalam persamaan. Dalam skema Horner, bilangan bulat dibagi dengan nilai koefisien persamaan ${ gaya tampilan a}$, ${ gaya tampilan b}$, ${ gaya tampilan c}$ dan ${} gaya tampilan d}$... Jika bilangan-bilangan tersebut habis dibagi rata (yaitu, sisanya adalah ${} gaya tampilan 0}$), bilangan bulat adalah akar persamaan.
   • Skema Horner layak mendapatkan artikel terpisah, tetapi berikut ini adalah contoh penghitungan salah satu akar persamaan kubik kami menggunakan skema ini:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Jadi sisanya adalah ${} gaya tampilan 0}$, tetapi ${ gaya tampilan -1}$ adalah salah satu akar persamaan.

Metode 3 dari 3: Cara Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Diskriminan

1. 1 Tuliskan nilai koefisien persamaan Sebuah{ gaya tampilan a}, B{ gaya tampilan b}, C{ gaya tampilan c} dan D{} gaya tampilan d}. Kami menyarankan Anda menuliskan nilai koefisien yang ditunjukkan terlebih dahulu agar tidak bingung di masa mendatang.
   • Misalkan diberikan persamaan ${ gaya tampilan x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$... Tulis ${ gaya tampilan a = 1}$, ${ gaya tampilan b = -3}$, ${ gaya tampilan c = 3}$ dan ${ gaya tampilan d = -1}$... Ingat itu jika sebelumnya ${ gaya tampilan x}$ tidak ada angka, koefisien yang sesuai masih ada dan sama dengan ${} gaya tampilan 1}$.
2. 2 Hitung diskriminan nol menggunakan rumus khusus. Untuk menyelesaikan persamaan kubik menggunakan diskriminan, Anda perlu melakukan sejumlah perhitungan yang sulit, tetapi jika Anda melakukan semua langkah dengan benar, metode ini akan menjadi sangat diperlukan untuk menyelesaikan persamaan kubik yang paling kompleks. Komputasi pertama ${ gaya tampilan Delta _ {0}}$ (zero discriminant) adalah nilai pertama yang kita butuhkan; untuk melakukan ini, gantikan nilai yang sesuai dalam rumus ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Diskriminan adalah angka yang mencirikan akar polinomial (misalnya, diskriminan persamaan kuadrat dihitung dengan rumus ${ gaya tampilan b ^ {2} -4ac}$).
   • Dalam persamaan kami:

     ${ gaya tampilan b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${} gaya tampilan 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Hitung diskriminan pertama menggunakan rumus Δ1=2B3−9SebuahBC+27Sebuah2D{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Diskriminan pertama ${ gaya tampilan Delta _ {1}}$ - ini adalah nilai penting kedua; untuk menghitungnya, masukkan nilai yang sesuai ke dalam rumus yang ditentukan.
   • Dalam persamaan kami:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ gaya tampilan 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ gaya tampilan -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Menghitung:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Yaitu, temukan diskriminan persamaan kubik melalui nilai-nilai yang diperoleh ${ gaya tampilan Delta _ {0}}$ dan ${ gaya tampilan Delta _ {1}}$... Jika diskriminan persamaan kubik positif, persamaan tersebut memiliki tiga akar; jika diskriminan adalah nol, persamaan memiliki satu atau dua akar; jika diskriminan negatif, persamaan memiliki satu akar.
   • Persamaan kubik selalu memiliki setidaknya satu akar, karena grafik persamaan ini memotong sumbu X setidaknya di satu titik.
   • Dalam persamaan kita ${ gaya tampilan Delta _ {0}}$ dan ${ gaya tampilan Delta _ {1}}$ adalah sama ${} gaya tampilan 0}$, sehingga Anda dapat dengan mudah menghitung ${ gaya tampilan Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ gaya tampilan 0-0 div 27}$

     ${ gaya tampilan 0 = Delta}$... Jadi, persamaan kita memiliki satu atau dua akar.

5. 5 Menghitung:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } kanan) div 2}}}$. ${} gaya tampilan C}$ - ini adalah kuantitas penting terakhir yang ditemukan; ini akan membantu Anda menghitung akar persamaan. Substitusikan nilai ke dalam rumus yang ditentukan ${ gaya tampilan Delta _ {1}}$ dan ${ gaya tampilan Delta _ {0}}$.
   • Dalam persamaan kami:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ gaya tampilan 0 = C}$

6. 6 Temukan tiga akar persamaan. Lakukan dengan rumus ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, di mana ${ gaya tampilan u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, tetapi n adalah sama dengan 1, 2 atau 3... Substitusikan nilai yang sesuai ke dalam rumus ini - sebagai hasilnya, Anda akan mendapatkan tiga akar persamaan.
   • Hitung nilainya menggunakan rumus di n = 1, 2 atau 3dan kemudian periksa jawabannya. Jika Anda mendapatkan 0 saat Anda memeriksa jawaban Anda, nilai ini adalah akar dari persamaan.
   • Dalam contoh kita, substitusi 1 di dalam ${ gaya tampilan x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$ dan dapatkan 0, yaitu 1 adalah salah satu akar persamaan.