Merumuskan pembuktian matematis

Video: Cara mudah Induksi Matematika 100% Bisa

Isi

Melangkah
Metode 1 dari 3: Memahami masalah
Metode 2 dari 3: Menyusun bukti
Metode 3 dari 3: Merumuskan bukti
Tips

Pembuktian matematika bisa jadi sulit, tetapi dengan pengetahuan latar belakang yang benar tentang matematika dan struktur pembuktian, Anda pasti dapat merumuskannya dengan sukses. Sayangnya, tidak ada cara cepat dan mudah untuk mempelajari cara membangun bukti. Anda membutuhkan dasar yang kuat dalam pengetahuan subjek Anda untuk menghasilkan tesis dan definisi yang benar untuk mengembangkan bukti Anda secara logis. Dengan membaca contoh dan berlatih sendiri, Anda akan mampu menguasai keterampilan pembuktian matematika.

Melangkah

Metode 1 dari 3: Memahami masalah

Pahami pertanyaannya. Pertama-tama Anda harus menentukan dengan tepat apa yang ingin Anda buktikan. Pertanyaan ini juga akan berfungsi sebagai tesis akhir dari pembuktian. Pada langkah ini Anda juga akan menentukan asumsi yang akan Anda kerjakan. Mengidentifikasi pertanyaan dan membuat asumsi yang diperlukan memberi Anda titik awal untuk memahami masalah dan mengembangkan bukti.
Gambar diagram. Saat mencoba memahami cara kerja inti soal matematika, terkadang paling mudah menggambar diagram tentang apa yang terjadi. Bagan sangat penting dalam pembuktian geometris karena memungkinkan Anda memvisualisasikan apa yang sebenarnya ingin Anda buktikan.
- Gunakan informasi yang diberikan dalam soal untuk menggambar bukti. Sebutkan kenalan dan orang asing.
- Saat mengerjakan bukti, gunakan informasi yang diperlukan untuk mendukung bukti.
Pelajari bukti teorema terkait. Bukti sulit untuk dipelajari, tetapi cara terbaik untuk mempelajarinya adalah dengan mempelajari pernyataan terkait dan bagaimana pernyataan itu dibuktikan.
- Sadarilah bahwa bukti hanyalah argumen yang bagus di mana setiap langkah dibuktikan. Anda dapat menemukan banyak bukti untuk dipelajari, baik online maupun di buku teks.
Mengajukan pertanyaan. Sangat normal untuk terjebak dalam pembuktian. Tanyakan kepada guru atau teman sekelas Anda jika Anda tidak bisa memahaminya. Yang terakhir mungkin memiliki pertanyaan serupa dan Anda dapat bekerja sama dalam masalah tersebut. Lebih baik mengajukan pertanyaan dan kemudian memahami daripada membabi buta melalui bukti.
- Konsultasikan dengan guru Anda setelah kelas untuk penjelasan tambahan.

Metode 2 dari 3: Menyusun bukti

Tentukan bukti matematis. Bukti matematis adalah sekumpulan pernyataan logis yang didukung oleh teorema dan definisi yang membuktikan kebenaran pernyataan matematika lainnya. Bukti adalah satu-satunya cara untuk mengetahui apakah suatu pernyataan valid secara matematis.
- Mampu merumuskan bukti matematis menunjukkan pemahaman mendasar tentang masalah itu sendiri, dan semua konsep yang terlibat dalam masalah tersebut.
- Bukti juga memaksa Anda untuk melihat matematika dengan cara yang baru dan menarik. Hanya mencoba membuktikan sesuatu akan memberi Anda lebih banyak pengetahuan dan wawasan tentang hal itu, bahkan jika bukti Anda pada akhirnya tampak tidak benar.
Kenali audiens Anda. Sebelum menulis bukti, Anda harus memikirkan pembaca yang Anda tulis dan apa yang sudah mereka ketahui. Jika Anda menulis bukti untuk suatu publikasi, Anda akan melakukannya secara berbeda dari untuk kelas sekolah menengah.
- Mengetahui audiens Anda memungkinkan Anda merumuskan bukti sedemikian rupa sehingga dapat dipahami mengingat jumlah pengetahuan latar belakang yang dimiliki audiens.
Pahami jenis bukti yang Anda ajukan. Ada beberapa jenis bukti, dan yang Anda pilih bergantung pada target audiens dan tugas Anda. Jika Anda tidak yakin versi mana yang harus digunakan, mintalah nasihat dari guru Anda. Di sekolah menengah, Anda mungkin diharapkan merumuskan bukti dalam format tertentu, seperti bukti dua kolom formal.
- Bukti dua kolom adalah struktur di mana data dan pernyataan ditempatkan dalam satu kolom dan bukti pendukung di sebelahnya di kolom kedua. Mereka sangat sering digunakan dalam geometri.
- Bukti paragraf informal menggunakan pernyataan yang benar secara tata bahasa dan lebih sedikit simbol. Di tingkat yang lebih tinggi, Anda harus selalu menggunakan bukti informal.
Tulis bukti dalam dua kolom sebagai gambaran umum. Menyusun bukti dalam dua kolom adalah cara mudah untuk mengatur pikiran Anda dan mempertimbangkan masalahnya. Buat garis di tengah halaman dan tulis semua data dan pernyataan di sebelah kiri. Tulis definisi / pernyataan yang sesuai di sebelah kanan, di samping data yang mereka dukung.
- Contohnya:
- Sudut A dan sudut B membentuk pasangan linier. Diberikan.
- Sudut ABC lurus. Definisi sudut siku-siku.
- Angle ABC adalah 180 °. Definisi garis.
- Sudut A + sudut B = sudut ABC. Postulat untuk menambahkan sudut.
- Sudut A + sudut B = 180 °. Pengganti.
- Sudut A sebagai pelengkap sudut B. Definisi sudut tambahan.
- Q.E.D.
Ubah bukti dalam dua kolom menjadi bukti informal. Berdasarkan bukti dalam dua kolom, tulis bukti informal sebagai paragraf tanpa terlalu banyak simbol dan singkatan.
- Misalnya, sudut A dan B adalah pasangan linier. Hipotesisnya adalah bahwa sudut A dan sudut B saling melengkapi (saling melengkapi). Sudut A dan sudut B membentuk garis lurus karena merupakan pasangan linier. Garis lurus didefinisikan sebagai sudut 180 °. Diketahui postulat untuk penjumlahan sudut, sudut A dan B bersama-sama membentuk garis ABC. Melalui substitusi, A dan B bersama-sama adalah 180 °, oleh karena itu keduanya adalah sudut tambahan. Q.E.D.

Metode 3 dari 3: Merumuskan bukti

Pelajari kosakata bukti matematika. Ada pernyataan dan kalimat tertentu yang terus Anda lihat dalam pembuktian matematis. Ini adalah frasa yang harus Anda ketahui dan dapat digunakan dengan baik saat merumuskan bukti Anda sendiri.
- "Jika A, maka B" berarti Anda harus menunjukkan bahwa jika A benar, B juga harus benar.
- "A jika dan hanya jika B" berarti Anda harus membuktikan bahwa A dan B benar dan salah pada saat yang bersamaan. Buktikan baik "Jika A, lalu B" dan "jika bukan A, maka bukan B".
- “A only if B” artinya sama dengan “If A, then B”, jadi tidak sering digunakan. Ada baiknya untuk menyadari hal ini saat Anda menemukannya.
- Saat membuat bukti, Anda harus menghindari penggunaan "saya" untuk mendukung "kami".
Tuliskan semua data. Saat menyusun bukti, langkah pertama adalah mengidentifikasi dan mencatat semua data. Ini adalah tempat terbaik untuk memulai karena ini akan membantu Anda memikirkan apa yang diketahui dan informasi apa yang Anda butuhkan untuk melengkapi bukti. Baca masalah dan tuliskan setiap informasi.
- Contoh: Buktikan bahwa dua sudut yang membentuk pasangan linier (sudut A dan sudut B) saling melengkapi.
- Diketahui: sudut A dan sudut B membentuk pasangan linier
- Bukti: sudut A melengkapi sudut B.
Tentukan semua variabel. Selain menulis data, juga berguna untuk mendefinisikan semua variabel. Tuliskan definisi di awal bukti untuk menghindari kebingungan bagi pembaca. Jika variabel tidak ditentukan, pembaca dapat dengan mudah tersesat mencoba memahami bukti Anda.
- Jangan gunakan variabel dalam pembuktian Anda yang belum ditentukan.
- Contoh: Variabel adalah ukuran sudut A dan sudut B.
Bekerja mundur melalui bukti. Seringkali paling mudah untuk berpikir mundur tentang suatu masalah. Mulailah dengan kesimpulan, apa yang ingin Anda buktikan, dan pikirkan langkah-langkah yang dapat membawa Anda kembali ke awal.
- Edit langkah-langkah di awal dan akhir untuk melihat apakah mereka serupa. Gunakan data, definisi yang telah Anda pelajari, dan bukti serupa.
- Ajukan pertanyaan pada diri Anda sendiri di sepanjang jalan. “Mengapa demikian?” Dan “Adakah cara ini salah?” Apakah pertanyaan yang bagus untuk pernyataan atau klaim apa pun.
- Jangan lupa untuk menuliskan langkah-langkahnya secara berurutan untuk bukti akhir.
- Misalnya: Jika sudut A dan B saling melengkapi, maka bersama-sama keduanya harus 180 °. Kedua sudut itu bersama-sama membentuk garis ABC. Anda tahu bahwa keduanya membentuk garis karena definisi pasangan linier. Karena garis lurus adalah 180 °, Anda dapat menggunakan substitusi untuk membuktikan bahwa sudut A dan sudut B berjumlah 180 °.
Tempatkan langkah Anda dalam urutan yang logis. Mulailah bukti di awal dan lanjutkan ke kesimpulan. Meskipun bermanfaat untuk memikirkan bukti, dengan memulai dengan kesimpulan dan bekerja mundur, saat menyajikan bukti yang sebenarnya, Anda akan meletakkan kesimpulan di akhir. Pernyataan dalam bukti harus mengalir dari satu sama lain, dengan pembuktian untuk setiap pernyataan, sehingga tidak ada alasan untuk meragukan keabsahan bukti Anda.
- Mulailah dengan membuat daftar asumsi yang sedang Anda tangani.
- Bagilah menjadi langkah-langkah sederhana dan jelas sehingga pembaca tidak perlu bertanya-tanya bagaimana satu langkah secara logis mengalir dari langkah lainnya.
- Tidak jarang merumuskan beberapa bukti konsep. Terus atur ulang hingga semua langkah berada dalam urutan yang paling logis.
- Misalnya: mulai dari awal.
  - Sudut A dan sudut B membentuk pasangan linier.
  - Sudut ABC lurus.
  - Angle ABC adalah 180 °.
  - Sudut A + sudut B = sudut ABC.
  - Sudut A + sudut B = 180 °.
  - Sudut A melengkapi sudut B.
Hindari penggunaan panah dan singkatan dalam bukti tertulis. Saat menguraikan rencana pembuktian Anda, Anda dapat menggunakan singkatan dan simbol, tetapi saat menulis bukti akhir, simbol, seperti panah, dapat membingungkan pembaca. Sebaliknya, gunakan kata-kata seperti "lalu" atau "jadi".
- Pengecualian untuk penggunaan singkatan adalah: mis. (Misalnya) dan ie (mis.), Tetapi pastikan Anda menggunakannya dengan benar.
Dukung semua pernyataan dengan teorema (teorema), hukum atau definisi. Alat bukti hanya sebagus alat bukti yang digunakan. Anda tidak dapat membuat pernyataan tanpa memperkuatnya dengan definisi. Lihat bukti serupa lainnya sebagai contoh.
- Cobalah untuk menerapkan bukti Anda pada kasus di mana Salah harus, dan verifikasi bahwa ini benar-benar masalahnya. Jika hasilnya tidak salah, sesuaikan buktinya sehingga benar.
- Banyak bukti geometris ditulis sebagai bukti dua kolom, dengan pernyataan dan bukti. Bukti matematis formal yang dimaksudkan untuk publikasi ditulis sebagai paragraf dengan tata bahasa yang benar.
Akhiri dengan kesimpulan atau Q.E.D. Pernyataan bukti terakhir haruslah hipotesis yang ingin Anda buktikan. Setelah Anda membuat pernyataan ini, tutup bukti dengan simbol terakhir, seperti Q.E.D. atau kotak padat, untuk menunjukkan bahwa pembuktiannya sudah lengkap.
- Q.E.D. singkatan dari "quod erat demonstrandum" (bahasa Latin untuk "yang harus dibuktikan").
- Jika Anda tidak yakin apakah bukti Anda benar, tulis saja dalam beberapa kalimat apa kesimpulan Anda dan mengapa itu penting.