Isi

• Langkah
• Nasihat
• Peringatan

Inversi sering digunakan dalam kalkulus untuk menyederhanakan masalah bermasalah dengan cara lain. Misalnya, lebih mudah mengalikan dengan kebalikan dari sebuah pecahan daripada membaginya secara langsung dengan bilangan itu. Ini kebalikannya. Demikian pula, karena tidak ada tanda pecahan untuk matriks tersebut, Anda harus mengalikan matriks inversnya. Menghitung matriks invers dari matriks 3x3 bisa sangat melelahkan, tetapi ini adalah masalah yang patut dipertimbangkan. Anda juga dapat menggunakan kalkulator grafik tingkat lanjut untuk melakukan ini.

Langkah

Metode 1 dari 3: Buat matriks tambahan untuk mencari matriks invers

1. 

   Periksa determinan dari matriks tersebut. Langkah pertama: temukan determinan dari matriks tersebut. Jika determinannya 0, selesai: matriks ini tidak dapat dibalik. Determinan dari matriks M dapat dilambangkan dengan det (M).
   • Untuk mencari invers dari matriks 3x3, Anda harus menghitung determinannya terlebih dahulu.
   • Untuk meninjau cara mencari determinan matriks, lihat artikel Menemukan determinan matriks 3x3.

2. 

   
   
   Transposisi matriks asli. Transposisi berarti merefleksikan matriks melintasi diagonal utama, atau dengan kata lain menukar elemen th (i, j) dan elemen (j, i). Saat mentranspos elemen matriks, diagonal utama (berjalan dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah) tetap konstan.
   • Cara lain untuk memahami transposisi adalah Anda akan menulis ulang matriks sehingga baris pertama menjadi kolom pertama, baris tengah menjadi kolom tengah, dan baris ketiga menjadi kolom ketiga. Perhatikan elemen warna pada ilustrasi di atas dan perhatikan posisi baru dari angka tersebut.

3. 

   
   
   Temukan determinan dari setiap sub-matriks 2x2. Semua elemen dari matriks perpindahan 3x3 baru dihubungkan ke matriks 'sub' 2x2 yang sesuai. Untuk menemukan sub-matriks dari setiap elemen, pertama-tama sorot baris dan kolom dari elemen pertama. Semua 5 elemen akan disorot. Empat elemen lainnya membentuk sub-matriks.
   • Dalam contoh di atas, jika Anda ingin menemukan sub-matriks dari elemen di baris dua, kolom satu, Anda menyorot lima bagian kata di baris kedua dan kolom pertama. Empat elemen yang tersisa adalah sub-matriks yang sesuai.
   • Temukan determinan setiap sub-matriks dengan mengalikan secara diagonal dan mengurangkan dua hasil kali satu sama lain, seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas.
   • Baca lebih lanjut untuk mempelajari lebih lanjut tentang sub-matriks dan penggunaannya.

4. 

   
   
   Buat matriks subbagian aljabar. Tempatkan hasil yang diperoleh dari langkah sebelumnya ke dalam matriks baru yang terdiri dari subbagian aljabar dengan menempatkan setiap determinan sub-matriks pada posisi yang sesuai di matriks asli. Dengan demikian, determinan yang dihitung dari elemen (1,1) dari matriks asli akan ditempatkan pada posisi (1,1). Selanjutnya, Anda harus mengubah tanda pengganti dari matriks baru ini sesuai dengan tabel referensi yang ditunjukkan pada ilustrasi di atas.
   • Saat menentukan tandanya, tanda dari molekul pertama dari ujungnya dipertahankan. Tanda elemen kedua dibalik. Tanda elemen ketiga dipertahankan. Lanjutkan seperti itu untuk sisa matriks. Perhatikan bahwa tanda (+) atau (-) pada grafik referensi tidak menunjukkan bahwa sampai akhir elemen akan membawa tanda positif atau negatif. Mereka hanya menunjukkan bahwa elemen akan tetap utuh (+) atau diubah dengan (-).
   • Lihat dasar-dasar matriks untuk mengetahui lebih lanjut tentang pelengkap aljabar.
   • Hasil akhir yang kita dapatkan pada langkah ini adalah matriks komplementer dari matriks aslinya. Kadang-kadang juga disebut matriks konjugasi dan dilambangkan dengan Adj (M).

5. 

   Bagilah semua elemen matriks komplemen dengan determinan. Gunakan determinan dari matriks M yang Anda hitung di langkah pertama (untuk memeriksa apakah matriks tersebut dapat dibalik). Sekarang bagi setiap elemen matriks dengan nilai ini. Letakkan hasil bagi setiap divisi ke posisi elemen asli, dan kita mendapatkan matriks invers dari matriks asli.
   • Contoh matriks yang disajikan dalam ilustrasi memiliki determinan 1. Oleh karena itu, ketika kita membagi semua elemen matriks komplementer dengan determinan, kita memperolehnya sendiri (Anda tidak akan selalu seberuntung itu). .
   • Alih-alih membagi, beberapa dokumentasi mendemonstrasikan langkah ini sebagai mengalikan setiap elemen M dengan 1 / det (M). Secara matematis, keduanya setara.
   iklan

Metode 2 dari 3: Turunkan baris linier untuk mencari matriks invers

1. 

   Tambahkan matriks satuan ke matriks asli. Tulis matriks dasar M, gambar garis vertikal di sebelah kanan matriks tersebut, lalu tulis matriks satuan di sebelah kanan garis ini. Pada titik ini, kami memiliki matriks dengan tiga baris dan enam kolom.
   • Ingatlah bahwa matriks identitas adalah matriks khusus dengan semua elemen pada diagonal utama, mulai dari pojok kiri atas hingga pojok kanan bawah, sama dengan 1 dan semua elemen di posisi diam sama dengan nol.

2. 

   Lakukan pengurangan baris linier. Tujuannya di sini adalah membuat matriks satuan di bagian kiri dari matriks yang baru diperluas. Saat melakukan langkah-langkah pengurangan baris di sebelah kiri, Anda harus melakukan bagian yang sesuai di sebelah kanan - bagian yang merupakan matriks satuan Anda.
   • Ingatlah bahwa reduksi baris dilakukan sebagai kombinasi perkalian skalar dan penambahan atau pengurangan baris, untuk mengisolasi elemen-elemen matriks.

3. 

   Lanjutkan sampai matriks satuan terbentuk. Lanjutkan reduksi linier sampai matriks identitas (elemen pada diagonal sama dengan 1, elemen lainnya sama dengan 0) di bagian kiri matriks yang diperluas. Setelah langkah ini tercapai, bagian kanan dari pembagi vertikal adalah matriks invers dari matriks asli.

4. 

   Tulis kembali matriks kebalikannya. Gandakan elemen yang saat ini berada di bagian kanan pemisah vertikal dan itu adalah matriks invers Anda. iklan

Metode 3 dari 3: Temukan matriks invers dengan kalkulator saku

1. 

   Pilih kalkulator yang dapat menyelesaikan matriks. Kalkulator sederhana dengan empat fungsi tidak akan dapat menemukan matriks invers secara langsung untuk Anda. Namun, karena pengulangan matematika, kalkulator grafik tingkat lanjut, seperti Texas Instruments TI-83 atau TI-86, dapat sangat mengurangi pekerjaan Anda.

2. 

   Masukkan matriks ke dalam kalkulator. Pertama, masukkan fungsi Matriks kalkulator Anda dengan menekan tombol Matriks, jika tersedia di perangkat Anda. Dengan mesin Texas Instruments, Anda harus menekan 2 Matrix.

3. 

   Pilih submenu Edit. Untuk mengakses submenu ini, Anda mungkin perlu menggunakan tombol panah atau memilih tombol fungsi yang sesuai yang terletak di baris atas keyboard komputer, tergantung pada desainnya.

4. 

   Pilih nama untuk matriks Anda. Kebanyakan kalkulator saku diperlengkapi untuk bekerja dengan 3 hingga 10 matriks, yang diberi nama huruf, A hingga J. Biasanya, mari kita mulai. Tekan tombol Enter untuk mengonfirmasi pemilihan nama.

5. 

   Masukkan ukuran matriks. Artikel ini berfokus pada matriks 3x3. Namun, kalkulator saku dapat menangani matriks yang lebih besar. Masukkan jumlah baris, tekan Enter, ketik nomor kolom dan tekan Enter.

6. 

   Masukkan setiap elemen dari matriks. Matriks akan ditampilkan di layar komputer. Jika Anda pernah bekerja dengan fungsi matriks sebelumnya, matriks yang Anda kerjakan sebelumnya akan muncul di layar. Kursor akan menandai elemen pertama dari matriks. Masukkan nilai matriks yang ingin Anda selesaikan dan tekan Enter. Kursor akan secara otomatis berpindah ke elemen berikutnya, menimpa nilai sebelumnya.
   • Jika Anda ingin memasukkan angka negatif, gunakan tombol negatif (-) kalkulator Anda, bukan tombol minus. Fungsi matriks tidak akan terbaca dengan benar.
   • Jika perlu, Anda dapat menggunakan tombol panah pada kalkulator untuk menelusuri matriks.

7. 

   Keluar dari fungsi matriks. Setelah Anda memasukkan seluruh nilai matriks, tekan tombol Quit - Exit (atau 2 Quit, jika perlu). Berkat itu, Anda keluar dari fungsi Matriks dan kembali ke layar tampilan utama kalkulator.

8. 

   Gunakan kunci invers untuk mencari matriks invers. Pertama, buka kembali fungsi Matriks dan gunakan tombol Nama untuk memilih nama matriks yang Anda gunakan untuk memberikan matriks Anda (mungkin saja). Selanjutnya, tekan tombol invers kalkulator ,. Tergantung pada perangkat Anda, Anda mungkin perlu menggunakan tombol 2. Layar tampilan muncul. Tekan Enter, dan matriks inversi akan muncul di layar Anda.
   • Jangan gunakan tombol ^ di komputer Anda saat mencoba memasukkan A ^ -1 dengan klik individual. Komputer tidak akan memahami matematika ini.
   • Jika Anda mendapatkan pesan kesalahan saat menekan tombol invers, kemungkinan besar matriks induk Anda tidak dapat dibalik. Mungkin Anda harus kembali dan bersikap kualitatif untuk menentukan apakah itu penyebab kesalahan.

9. 

   Ubah matriks invers menjadi jawaban yang benar. Hasil pertama yang dikembalikan oleh komputer ditampilkan dalam desimal. Itu belum tentu merupakan jawaban yang "benar" untuk sebagian besar tujuan. Anda harus mengubah jawaban desimal ini menjadi pecahan jika diperlukan (jika cukup beruntung, semua hasil Anda adalah bilangan bulat. Namun, ini sangat jarang).
   • Mungkin kalkulator Anda memiliki fungsi yang secara otomatis mengubah desimal menjadi pecahan. Misalnya, saat menggunakan TI-86, Anda dapat masuk ke fungsi Matematika, pilih Lain-lain lalu Frac dan tekan Enter. Desimal akan secara otomatis direpresentasikan sebagai pecahan.
10. Kebanyakan kalkulator grafik memiliki tanda kurung siku (untuk TI-84, yaitu 2nd + x dan 2nd + -) yang memungkinkan Anda memasukkan matriks tanpa menggunakan fungsi matriks. Catatan: Kalkulator mungkin tidak memformat matriks sampai tombol enter / equal digunakan (artinya semuanya akan berada di baris yang sama dan tidak terlalu bagus). iklan

Nasihat

• Anda dapat mengikuti langkah-langkah ini untuk mencari invers dari sebuah matriks yang tidak hanya berisi angka, tetapi juga variabel, variabel yang tidak diketahui, atau bahkan ekspresi aljabar.
• Tuliskan semua langkahnya karena mencari invers dari matriks 3x3 hanya dengan mengerjakan matematika sangatlah sulit.
• Ada program kalkulator yang membantu Anda menemukan matriks invers, hingga dan termasuk matriks 30x30.
• Metode apa pun yang Anda gunakan, periksa keakuratan hasilnya dengan mengalikan M dengan M. Anda akan memastikan bahwa M * M = M * M = I. Di mana, I adalah matriks satuan , terdiri dari 1 elemen yang terletak di sepanjang diagonal utama dan nol di tempat lain. Jika Anda tidak mendapatkan hasil seperti itu, Anda pasti salah di suatu tempat.

Peringatan

• Tidak semua matriks 3x3 memiliki matriks invers. Jika determinannya 0, maka matriks tersebut tidak dapat dibalik (Perhatikan bahwa dalam rumusnya, kita bagi dengan det (M). Membagi dengan nol adalah operasi yang tidak ditentukan).