Faktorkan persamaan kuadrat

Video: Jelas Banget! Begini lho CARANYA MEMFAKTORKAN Persamaan Kuadrat

Isi

Melangkah
Awal mula
Metode 1 dari 6: Uji Coba dan Kesalahan
Metode 2 dari 6: Penguraian
Metode 3 dari 6: Putar Tiga
Metode 4 dari 6: Perbedaan antara dua kotak
Metode 5 dari 6: Rumus ABC
Metode 6 dari 6: Menggunakan kalkulator
Tips
Peringatan
Kebutuhan

Polinomial berisi variabel (x) dengan pangkat tertentu dan beberapa suku dan / atau konstanta. Untuk memfaktorkan polinomial, Anda harus memecah ekspresi menjadi ekspresi yang lebih kecil yang dikalikan bersama. Ini memang membutuhkan tingkat matematika tertentu dan oleh karena itu bisa sulit dipahami jika Anda belum cukup jauh.

Melangkah

Awal mula

Persamaannya. Format standar untuk persamaan kuadrat adalah:

kapak + bx + c = 0
Mulailah dengan menyusun suku-suku dalam persamaan Anda dari pangkat tertinggi hingga terendah. Misalnya, ambil:

6 + 6x + 13x = 0
Kami akan menyusun ulang ekspresi ini sehingga menjadi lebih mudah untuk dikerjakan - cukup dengan memindahkan istilah:

6x + 13x + 6 = 0
Temukan faktor menggunakan salah satu metode di bawah ini. Memfaktorkan polinomial akan menghasilkan dua ekspresi yang lebih kecil yang dapat dikalikan bersama untuk mendapatkan polinomial asli:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Dalam contoh ini, (2x +3) dan (3x + 2) adalah faktor dari ekspresi aslinya, 6x + 13x + 6.
Periksa pekerjaanmu! Kalikan faktor yang Anda temukan. Gabungkan suku-suku yang sama dan Anda selesai. Dimulai dari:

(2x + 3) (3x + 2)
Mari kita uji ini, mengalikan suku-suku menggunakan EBBL (pertama - luar - dalam - terakhir), yang menghasilkan:

6x + 4x + 9x + 6
Sekarang kita menjumlahkan 4x dan 9x karena mereka adalah suku-suku yang sama. Kita tahu faktor-faktornya benar karena kita mendapatkan kembali persamaan yang kita mulai:

6x + 13x + 6

Metode 1 dari 6: Uji Coba dan Kesalahan

Jika Anda memiliki polinomial yang cukup sederhana, Anda mungkin dapat langsung mengetahui faktor-faktornya. Misalnya, setelah beberapa latihan, banyak ahli matematika yang mampu melihat ekspresi tersebut 4x + 4x + 1 memiliki faktor (2x + 1) dan (2x + 1) hanya karena mereka telah melihatnya berkali-kali. (Jelas, ini tidak akan semudah itu dengan polinomial yang lebih rumit.) Mari kita ambil ekspresi yang kurang standar untuk contoh ini:

3x + 2x - 8

Tuliskan faktor Sebuah istilah dan c istilah. Gunakan format kapak + bx + c = 0, kenali Sebuah dan c istilah dan catat faktor apa saja yang ada. Untuk 3x + 2x - 8, ini berarti:

a = 3 dan memiliki 1 pasang faktor: 1 * 3
c = -8 dan ini memiliki 4 pasang faktor: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, dan -1 * 8.
Tuliskan dua pasang tanda kurung dengan spasi kosong. Di sini Anda memasukkan konstanta setiap ekspresi:

(x) (x)
Isi spasi sebelum x dengan sejumlah faktor yang memungkinkan dari Sebuah nilai. Untuk Sebuah istilah dalam contoh kami, 3x, hanya ada 1 kemungkinan:

(3x) (1x)
Isi 2 ruang setelah x dengan beberapa faktor konstanta. Misalkan kita memilih 8 dan 1. Masukkan ini:

(3x8) (X1)
Tentukan tanda mana (plus atau minus) yang harus berada di antara variabel x dan angka. Bergantung pada karakter ekspresi asli, dimungkinkan untuk mengetahui karakter konstanta apa yang seharusnya. Mari kita ambil dua konstanta dari kedua faktor tersebut h dan k menyebutkan:

Jika ax + bx + c maka (x + h) (x + k)
Jika ax - bx - c atau ax + bx - c maka (x - h) (x + k)
Jika ax - bx + c maka (x - h) (x - k)
Dalam contoh kita, 3x + 2x - 8, tandanya adalah: (x - h) (x + k), yang memberi kita dua faktor berikut:

(3x + 8) dan (x - 1)
Uji pilihan Anda dengan perkalian pertama-luar-dalam-terakhir. Tes cepat pertama untuk melihat apakah suku tengahnya setidaknya memiliki nilai yang benar. Jika tidak, maka Anda mungkin salah c faktor yang dipilih. Mari kita uji jawabannya:

(3x + 8) (x - 1)
Dengan perkalian kita mendapatkan:

3x - 3x + 8x - 8
Sederhanakan ekspresi ini dengan menambahkan suku-suku sejenisnya (-3x) dan (8x), dan kita dapatkan:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Kami sekarang tahu bahwa kami mengambil faktor yang salah:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Ganti pilihan Anda, jika perlu. Dalam contoh kita, mari coba 2 dan 4, alih-alih 1 dan 8:

(3x + 2) (x - 4)
Sekarang kami c suku sama dengan -8, tetapi hasil kali luar / dalam dari (3x * -4) dan (2 * x) adalah -12x dan 2x, yang tidak benar b istilah atau + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Balik urutan jika perlu. Mari kita coba membalik 2 dan 4:

(3x + 4) (x - 2)
Sekarang kami c suku (4 * 2 = 8) dan masih oke, tetapi hasil kali luar / dalam adalah -6x dan 4x. Ketika kami menggabungkan ini, kami mendapatkan:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Kita sekarang mendekati 2x di tempat yang kita inginkan, tetapi tandanya belum benar.
Periksa kembali karakter Anda jika perlu. Kami menjaga urutan ini, tetapi menukarnya dengan tanda minus:

(3x - 4) (x + 2)
Sekarang c istilahnya masih oke, dan hasil kali luar / dalam sekarang (6x) dan (-4x). Karena:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Sekarang kita melihat 2x positif kembali dari soal awal. Ini pasti faktor yang benar.

Metode 2 dari 6: Penguraian

Metode ini memberikan semua faktor yang memungkinkan Sebuah dan c istilah dan menggunakannya untuk mengetahui faktor mana yang benar. Jika jumlahnya sangat besar, atau menebak metode lain akan memakan waktu terlalu lama, gunakan cara ini. Sebuah contoh:

6x + 13x + 6

Kalikan Sebuah istilah dengan c istilah. Dalam contoh ini, Sebuah adalah 6 dan c juga 6.

6 * 6 = 36
Temukan b istilah dengan faktorisasi dan pengujian. Kami mencari 2 angka yang merupakan faktor Sebuah * c , dan bersama-sama b istilah (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Gantikan dua angka yang Anda dapatkan dalam persamaan Anda sebagai jumlah dari b istilah. Ayo k dan h untuk mewakili 2 angka yang kita miliki, 4 dan 9:

kapak + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Faktorkan polinomial dengan mengelompokkan. Susun persamaannya sehingga Anda dapat memisahkan pembagi persekutuan terbesar dari dua suku pertama dan dua suku terakhir. Kedua faktor itu harus sama. Tambahkan GGD bersama-sama dan tempatkan dalam tanda kurung, di samping faktor; sebagai hasilnya Anda mendapatkan dua faktor:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metode 3 dari 6: Putar Tiga

Mirip dengan metode dekomposisi. Metode "permainan tiga kali lipat" memeriksa faktor-faktor yang mungkin dari produk Sebuah dan c dan menggunakannya untuk mencari tahu apa b harus. Ambil persamaan sebagai contoh:

8x + 10x + 2

Kalikan Sebuah istilah dengan c istilah. Seperti dengan metode dekomposisi, kami menggunakan ini untuk menentukan kandidat untuk file b istilah. Dalam contoh ini: Sebuah adalah 8 dan c adalah 2.

8 * 2 = 16
Temukan 2 angka dengan angka ini sebagai hasil kali dan dengan jumlah yang sama dengan b istilah. Langkah ini sama dengan metode dekomposisi - kami menguji kandidat untuk konstanta. Produk dari Sebuah dan c istilah adalah 16, dan c istilah 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Ambil 2 angka ini dan gantikan dengan rumus "permainan tiga kali lipat". Ambil 2 angka dari langkah sebelumnya - mari kita dapatkan h dan k panggil mereka - dan letakkan di ekspresi:

((ax + h) (ax + k)) / a

Dengan ini kita dapatkan:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Lihat bagian mana dari dua suku di penyebut yang dapat sepenuhnya dibagi Sebuah. Dalam contoh ini, kita melihat apakah (8x + 8) atau (8x + 2) dapat dibagi 8. (8x + 8) habis dibagi 8, jadi kita bagi suku ini dengan Sebuah dan kita membiarkan yang lain tidak terpengaruh.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Istilah yang kami simpan di sini adalah istilah yang tersisa setelah dibagi dengan Sebuah istilah: (x + 1)
Ambil pembagi persekutuan terbesar (gcd) dari salah satu atau kedua suku, jika memungkinkan. Dalam contoh ini kita melihat bahwa suku kedua memiliki gcd 2, karena 8x + 2 = 2 (4x + 1). Gabungkan jawaban ini dengan istilah yang Anda temukan di langkah sebelumnya. Ini adalah faktor-faktor perbandingan Anda.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metode 4 dari 6: Perbedaan antara dua kotak

Anda dapat mengenali beberapa koefisien dalam polinomial sebagai "kuadrat", atau juga sebagai hasil kali dari 2 bilangan identik. Dengan mencari tahu kuadratnya, Anda mungkin dapat memfaktorkan polinomial lebih cepat. Kami mengambil persamaan:

27x - 12 = 0

Hapus gcd dari persamaan, jika memungkinkan. Dalam hal ini kita melihat bahwa 27 dan 12 dapat dibagi 3, jadi kita dapat menempatkannya secara terpisah:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Tentukan apakah koefisien persamaan Anda adalah kuadrat. Untuk menggunakan metode ini, perlu untuk menentukan akar istilah. (Perhatikan bahwa kami telah menghilangkan tanda minus - karena angka-angka ini adalah kuadrat, mereka mungkin hasil kali dari 2 angka negatif)

9x = 3x * 3x dan 4 = 2 * 2
Dengan menggunakan akar kuadrat yang telah Anda tentukan, Anda sekarang dapat menuliskan faktor-faktornya. Kami mengambil Sebuah dan c nilai dari langkah sebelumnya: Sebuah = 9 dan c = 4, jadi akarnya adalah: - √Sebuah = 3 dan √c = 2. Berikut adalah koefisien dari ekspresi yang difaktorkan:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metode 5 dari 6: Rumus ABC

Jika tidak ada yang berhasil dan Anda tidak dapat menyelesaikan persamaan tersebut, gunakan rumus abc. Ambil contoh berikut:

x + 4x + 1 = 0

Masukkan nilai yang sesuai dalam rumus abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Kami sekarang mendapatkan ekspresi:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Pecahkan untuk x. Anda sekarang harus mendapatkan 2 nilai untuk x. Ini adalah:

x = -2 + √ (3) atau x = -2 - √ (3)
Gunakan nilai x untuk menentukan faktor-faktornya. Masukkan nilai x yang diperoleh dalam dua persamaan sebagai konstanta. Ini adalah faktor-faktor Anda. Jika kita menjawab keduanya h dan k kami menuliskan dua faktor sebagai berikut:

(x - h) (x - k)
Dalam hal ini, jawaban akhirnya adalah:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metode 6 dari 6: Menggunakan kalkulator

Jika diperbolehkan (atau diwajibkan) untuk menggunakan kalkulator grafik, hal ini akan membuat pemfaktoran menjadi jauh lebih mudah, terutama untuk ujian dan ujian. Instruksi berikut adalah untuk kalkulator grafik TI. Kami menggunakan persamaan dari contoh:

y = x - x - 2

Masukkan persamaan ke dalam kalkulator Anda. Anda akan menggunakan pemecah persamaan, yang juga dikenal sebagai layar [Y =].
Buat grafik persamaan dengan kalkulator. Setelah Anda memasukkan persamaan, tekan [GRAFIK] - Anda sekarang akan melihat garis lengkung, parabola sebagai representasi grafis dari persamaan Anda (dan ini adalah parabola karena kita berurusan dengan polinomial).
Temukan di mana parabola berpotongan dengan sumbu x. Karena persamaan kuadrat biasanya dituliskan sebagai ax + bx + c = 0, berikut adalah dua nilai x yang membuat persamaan tersebut sama dengan nol:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Jika Anda tidak dapat melihat di mana parabola berpotongan dengan sumbu x, tekan [2nd] lalu [TRACE]. Tekan [2] atau pilih "nol". Pindahkan kursor ke kiri persimpangan dan tekan [ENTER]. Pindahkan kursor ke kanan persimpangan dan tekan [ENTER]. Gerakkan kursor sedekat mungkin ke titik persimpangan dan tekan [ENTER]. Kalkulator akan menunjukkan nilai x. Lakukan ini juga untuk persimpangan lainnya.
Masukkan nilai x yang Anda peroleh ke dalam dua ekspresi faktor. Jika kita mengambil dua nilai x h dan k sebagai istilah, ekspresi yang kami gunakan terlihat seperti ini:

(x - h) (x - k) = 0
Jadi dua faktor kita kemudian menjadi:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tips

Jika Anda memfaktorkan polinomial dengan rumus abc, dan jawaban Anda mengandung akar, Anda dapat mengonversi nilai x menjadi pecahan untuk memeriksanya.
Jika suatu suku tidak memiliki koefisien sebelumnya, maka koefisiennya sama dengan 1, misalnya x = 1x.
Jika Anda memiliki kalkulator TI-84, ada program bernama SOLVER yang dapat menyelesaikan persamaan kuadrat untuk Anda. Ini juga memecahkan polinomial derajat yang lebih tinggi.
Setelah banyak berlatih, Anda akhirnya akan bisa menyelesaikan polinomial dengan hati. Tetapi untuk berada di sisi yang aman lebih baik untuk selalu menuliskannya.
Jika suku tidak ada, koefisiennya nol. Kemudian akan berguna untuk menulis ulang persamaan tersebut. Misalnya. x + 6 = x + 0x + 6.

Peringatan

Jika Anda mempelajari konsep ini di kelas matematika, perhatikan apa yang dijelaskan guru dan jangan hanya menggunakan metode favorit Anda sendiri. Anda mungkin diminta untuk menggunakan metode tertentu untuk tes, atau kalkulator grafik mungkin tidak diizinkan.