Isi

• Langkah
• Nasihat

Jika Anda seorang ahli matematika atau programmer grafis, Anda mungkin harus mencari sudut antara dua vektor yang diberikan. Di artikel ini, wikiHow menunjukkan cara melakukannya.

Langkah

Bagian 1 dari 2: Tentukan sudut antara dua vektor

1. 

   Definisi vektor. Tuliskan semua informasi tentang dua vektor yang Anda miliki. Misalkan Anda hanya memiliki parameter tertentu dari koordinat dimensinya (juga disebut komponen). Jika Anda sudah mengetahui panjang (besar) sebuah vektor, Anda bisa melewati beberapa langkah di bawah ini.
   • Contoh: Vektor dua dimensi = (2,2) dan vektor dua dimensi = (0,3). Bisa juga ditulis sebagai = 2saya + 2j dan = 0saya + 3j = 3j.
   • Meskipun vektor dua dimensi digunakan dalam contoh di artikel ini, petunjuk berikut dapat diterapkan pada vektor dengan sejumlah dimensi.

2. 

   
   
   Tuliskan rumus kosinus. Untuk mencari sudut θ antara dua vektor, kita mulai dengan rumus untuk mencari kosinus untuk sudut tersebut. Anda dapat mempelajari rumus ini di bawah, atau tulis saja seperti ini:
   • cosθ = (•) / (||i> E5E5E5 ||i>i>)
   • ||| You're berarti "panjang vektor".
   • • adalah produk skalar dari dua vektor - ini akan dijelaskan di bawah.

3. 

   
   
   Hitung panjang setiap vektor. Bayangkan sebuah segitiga siku-siku terdiri dari komponen x, y dari vektor, dan vektor itu sendiri. Vektor membentuk sisi miring segitiga, jadi untuk mencari panjangnya kita menggunakan teorema Pythagoras. Faktanya, rumus ini dapat dengan mudah diperluas ke vektor dengan sejumlah dimensi.
   • || u || = u₁ + u₂. Jika sebuah vektor memiliki lebih dari dua elemen, Anda hanya perlu menambahkan + u₃ + u₄ +...
   • Oleh karena itu, untuk vektor dua dimensi, || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Dalam contoh ini, ||i>i> = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Hitung produk skalar dari dua vektor. Mungkin Anda pernah mempelajari metode perkalian vektor, juga dikenal sebagai skalar ini. Untuk menghitung produk skalar relatif terhadap komposisinya, kalikan bahan di setiap arah bersama-sama, lalu jumlahkan seluruh hasil.
   • Untuk program grafik, silakan merujuk ke Tip sebelum membaca lebih lanjut.
   • Dalam matematika • = u₁v₁ + u₂v₂, dimana, u = (u₁, u₂). Jika vektor memiliki lebih dari dua elemen, cukup tambahkan + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Dalam contoh ini, • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Ini adalah produk skalar dari vektor dan vektor.

5. 

   Masukkan hasilnya ke dalam rumus. Ingatlah bahwa cosθ = (•) / (||i>i> || ||). Sekarang kita mengetahui hasil kali skalar dan panjang setiap vektor. Masukkan ini ke dalam rumus untuk menghitung kosinus sudut.
   • Dalam contoh kita, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Temukan sudut berdasarkan kosinusnya. Anda dapat menggunakan fungsi arccos atau cos dalam kalkulator untuk mencari θ dari nilai cos yang diketahui. Dengan beberapa hasil, Anda bisa mencari sudut berdasarkan lingkaran satuan.
   • Dalam contoh, cosθ = √2 / 2. Masukkan "arccos (√2 ​​/ 2)" ke kalkulator Anda untuk mencari sudut. Atau, Anda dapat mencari sudut θ pada lingkaran satuan, pada posisi cosθ = √2 / 2. Benar untuk θ = /₄ atau 45º.
   • Menggabungkan semuanya, rumus terakhirnya adalah: sudut θ = arccosine ((•) / (||i>i> ||))
   iklan

Bagian 2 dari 2: Penentuan rumus sudut

1. 

   Pahami tujuan rumus tersebut. Rumus ini tidak diturunkan dari aturan yang ada. Sebaliknya, ini dibentuk sebagai definisi produk skalar dan sudut antara dua vektor. Meski begitu, itu bukanlah keputusan yang sembarangan. Kembali ke geometri dasar, kita dapat memahami mengapa rumus ini memberikan definisi yang intuitif dan berguna.
   • Contoh di bawah ini menggunakan vektor dua dimensi karena paling mudah dipahami dan paling sederhana. Vektor tiga dimensi atau lebih memiliki properti yang ditentukan oleh rumus umum yang hampir serupa.

2. 

   Tinjau teorema Cosine. Perhatikan segitiga biasa dengan sudut θ antara sisi a dan b, sisi berlawanan c. Teorema Kosinus menyatakan bahwa c = a + b -2abcos(θ). Hasil ini diambil cukup sederhana dari geometri dasar.

3. 

   Hubungkan dua vektor, membentuk segitiga. Gambarkan sepasang vektor dua dimensi di atas kertas, vektor, dan vektor, dengan θ menjadi sudut di antara keduanya. Gambarkan vektor ketiga di antara keduanya untuk membuat segitiga. Dengan kata lain, gambarkan sebuah vektor sehingga + =. Vektor = -.

4. 

   Tulislah teorema kosinus untuk segitiga ini. Masukkan panjang sisi "segitiga vektor" kita ke dalam teorema Kosinus:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||cos(θ)

5. 

   Tulis ulang dengan produk skalar. Ingat, produk skalar adalah gambar dari satu vektor di atas vektor lainnya. Produk skalar dari vektor dengan sendirinya tidak memerlukan proyeksi, karena di sini tidak ada perbedaan arah. Artinya • = || a ||. Menggunakan ini, kami menulis ulang persamaan:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)

6. 

   Berhasil menulis ulang rumus yang sama. Perluas sisi kiri rumus, lalu sederhanakan untuk mendapatkan rumus yang digunakan untuk mencari sudut.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • • = || a || || b ||cos(θ)
   iklan

Nasihat

• Untuk mengubah nilai dan menyelesaikan soal dengan cepat, gunakan rumus ini untuk pasangan vektor dua dimensi apa pun: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Jika Anda bekerja dengan perangkat lunak grafik komputer, kemungkinan besar Anda hanya perlu memperhatikan dimensi vektor tanpa mengkhawatirkan panjangnya. Gunakan langkah-langkah berikut untuk mempersingkat persamaan dan mempercepat program Anda:
  • Normalisasikan setiap vektor sehingga sama dengan 1. Untuk melakukan ini, bagi setiap komponen vektor dengan panjangnya.
  • Dapatkan produk skalar yang dinormalisasi daripada vektor asli.
  • Karena panjangnya 1, kita dapat mengeluarkan elemen panjang dari persamaan. Akhirnya persamaan sudut yang diperoleh adalah arccos (•).
• Berdasarkan rumus cosinus, kita dapat dengan cepat menentukan apakah sudutnya lancip atau tumpul. Mulailah dengan cosθ = (•) / (||i>i> ||i>i>):
  • Ruas kiri dan kanan persamaan harus bertanda sama (positif atau negatif).
  • Karena panjang selalu positif, cosθ harus memiliki tanda yang sama dengan hasil kali skalar.
  • Oleh karena itu, jika hasil perkaliannya positif, cosθ juga positif. Kita berada di kuadran pertama lingkaran satuan, dengan θ <π / 2 atau 90º. Sudut yang dicari adalah sudut yang tajam.
  • Jika hasil kali skalar negatif, cosθ negatif. Kita berada di kuadran kedua lingkaran satuan, dengan π / 2 <θ ≤ π atau 90º <θ ≤ 180º. Itu sudut penjara.