Isi

• Langkah
• Tips

Fungsi rasional memiliki bentuk y = N (x) / D (x), di mana N dan D adalah polinomial. Untuk memplot fungsi seperti itu secara akurat, Anda memerlukan pengetahuan yang baik tentang aljabar, termasuk perhitungan diferensial. Perhatikan contoh berikut: kamu = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Langkah

1. 1 Temukan perpotongan y dari grafik. Untuk melakukannya, substitusikan x = 0 ke dalam fungsi dan dapatkan y = 5/2. Dengan demikian, titik potong grafik dengan sumbu Y memiliki koordinat (0, 5/2).Tempatkan titik ini pada bidang koordinat.
2. 2 Temukan asimtot horizontal. Bagi pembilang dengan penyebut (dalam kolom) untuk menentukan perilaku "y" dengan nilai "x" yang cenderung tak terhingga. Dalam contoh kita, pembagiannya adalah kamu = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Untuk nilai positif atau negatif besar "x" 17 / (8x + 4) cenderung nol, dan grafik mendekati garis lurus yang diberikan oleh fungsi kamu = (1/2)x - (7/4). Menggunakan garis putus-putus, plot fungsi ini.
   • Jika derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, maka Anda tidak dapat membagi pembilang dengan penyebut dan asimtot akan dijelaskan oleh fungsi pada = 0.
   • Jika derajat pembilang sama dengan derajat penyebut, maka asimtotnya adalah garis horizontal yang sama dengan rasio koefisien di "x" di tingkat tertinggi.
   • Jika derajat pembilangnya 1 lebih besar dari derajat penyebutnya, maka asimtotnya adalah garis lurus miring, yang kemiringannya sama dengan rasio koefisien pada "x" hingga derajat tertinggi.
   • Jika derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut sebesar 2, 3, dst, maka untuk nilai besar |NS| berarti pada cenderung tak terhingga (positif atau negatif) dalam bentuk persegi, kubik atau derajat lain dari polinomial. Dalam hal ini, kemungkinan besar, Anda tidak perlu membuat grafik eksak dari fungsi yang diperoleh dengan membagi pembilang dengan penyebut.
3. 3 Temukan nol dari fungsi tersebut. Sebuah fungsi rasional memiliki nol ketika pembilangnya adalah nol, yaitu, N (NS) = 0. Dalam contoh kita, 2x - 6x + 5 = 0. Diskriminan persamaan kuadrat ini: B - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Karena diskriminannya negatif, maka N (NS), dan karenanya F (NS) tidak memiliki akar real. Grafik fungsi rasional tidak memotong sumbu X. Jika fungsi tersebut memiliki nol (akar), maka letakkan pada bidang koordinat.
4. 4 Temukan asimtot vertikal. Untuk melakukan ini, atur penyebut ke nol. Dalam contoh kita, 4x + 2 = 0 dan NS = -1/2. Plot asimtot vertikal menggunakan garis putus-putus. Jika untuk beberapa nilai NS N (NS) = 0 dan D (NS) = 0, maka asimtot vertikal ada atau tidak ada (ini adalah kasus yang jarang terjadi, tetapi lebih baik untuk mengingatnya).
5. 5 Perhatikan sisa pembilang dibagi penyebutnya. Apakah positif, negatif, atau nol? Dalam contoh kita, sisanya adalah 17, yang positif. penyebut 4x + 2 positif di sebelah kanan asimtot vertikal dan negatif di sebelah kirinya. Ini berarti bahwa grafik fungsi rasional untuk nilai positif besar NS mendekati asimtot dari atas, dan untuk nilai negatif yang besar NS - dari bawah. Sejak 17 / (8x + 4) tidak pernah sama dengan nol, maka grafik fungsi ini tidak akan pernah memotong garis lurus yang ditentukan oleh fungsi pada = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Temukan ekstrem lokal. Ekstrem lokal ada untuk N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = 0. Dalam contoh kita, N '(x) = 4x - 6 dan D'(x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. Memecahkan persamaan ini, Anda menemukan bahwa x = 3/2 dan x = -5/2. (Ini bukan nilai yang sepenuhnya akurat, tetapi cocok untuk kasus kami ketika superpresisi tidak diperlukan.)
7. 7 Temukan nilainya pada untuk setiap ekstrem lokal. Untuk melakukan ini, substitusikan nilainya NS ke dalam fungsi rasional asli. Dalam contoh kita, f (3/2) = 1/16 dan f (-5/2) = -65/16. Sisihkan titik (3/2, 1/16) dan (-5/2, -65/16) pada bidang koordinat. Karena perhitungan didasarkan pada nilai perkiraan (dari langkah sebelumnya), minimum dan maksimum yang ditemukan juga tidak sepenuhnya akurat (tetapi mungkin sangat dekat dengan nilai eksak). (Poin (3/2, 1/16) sangat dekat dengan minimum lokal. Mulai dari langkah 3, kita tahu bahwa pada selalu positif untuk NS> -1/2, dan kami menemukan nilai kecil (1/16); dengan demikian, nilai kesalahan sangat kecil dalam kasus ini.)
8. 8 Hubungkan titik-titik yang tertunda dan rentangkan grafik dengan lancar ke asimtot (jangan lupa tentang arah grafik yang benar mendekati asimtot). Ingat bahwa grafik tidak boleh memotong sumbu X (lihat langkah 3). Grafik juga tidak berpotongan dengan asimtot horizontal dan vertikal (lihat langkah 5). Jangan mengubah arah grafik kecuali pada titik ekstrim yang ditemukan pada langkah sebelumnya.

Tips

• Jika Anda mengikuti langkah-langkah di atas secara berurutan, maka tidak perlu menghitung turunan kedua (atau besaran kompleks serupa) untuk menguji solusi Anda.
• Jika Anda tidak perlu menghitung nilai kuantitas, Anda dapat mengganti pencarian ekstrem lokal dengan menghitung beberapa pasangan koordinat tambahan (NS, pada) antara setiap pasangan asimtot. Selain itu, jika Anda tidak peduli dengan cara kerja metode yang dijelaskan, maka jangan heran mengapa Anda tidak dapat menemukan turunan dan menyelesaikan persamaan N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = 0.
• Dalam beberapa kasus, Anda harus bekerja dengan polinomial orde tinggi. Jika Anda tidak dapat menemukan solusi eksak menggunakan faktorisasi, rumus, dll., maka perkirakan solusi yang mungkin menggunakan metode numerik seperti metode Newton.
• Dalam kasus yang jarang terjadi, pembilang dan penyebut berbagi faktor variabel yang sama. Menurut langkah-langkah yang dijelaskan, ini akan mengarah ke nol dan asimtot vertikal di tempat yang sama. Namun, ini tidak mungkin, dan penjelasannya adalah salah satu dari berikut ini:
  • Nol di N (NS) memiliki multiplisitas lebih tinggi dari nol di D (NS). Grafik F (NS) cenderung nol pada titik ini, tetapi tidak didefinisikan di sana. Tunjukkan ini dengan menggambar lingkaran di sekitar titik.
  • Nol di N (NS) dan nol di D (NS) memiliki multiplisitas yang sama. Grafik mendekati beberapa titik bukan nol pada nilai ini NStetapi tidak didefinisikan di dalamnya. Tunjukkan ini dengan menggambar lingkaran di sekitar titik.
  • Nol di N (NS) memiliki multiplisitas lebih rendah dari nol di D (NS). Ada asimtot vertikal di sini.