Isi

• Langkah

Persamaan trigonometri mengandung satu atau lebih fungsi trigonometri dari variabel "x" (atau variabel lainnya). Memecahkan persamaan trigonometri adalah menemukan nilai "x" yang memenuhi fungsi (s) dan persamaan secara keseluruhan.

• Solusi untuk persamaan trigonometri dinyatakan dalam derajat atau radian. Contoh:

x = / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 derajat; x = 37,12 derajat; x = 178,37 derajat.

• Catatan: nilai fungsi trigonometri dari sudut, dinyatakan dalam radian, dan dari sudut, dinyatakan dalam derajat, adalah sama. Lingkaran trigonometri dengan jari-jari sama dengan satu digunakan untuk menggambarkan fungsi trigonometri, serta untuk memeriksa kebenaran solusi persamaan dan pertidaksamaan trigonometri dasar.
• Contoh persamaan trigonometri:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tgx + ctgx = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Lingkaran trigonometri dengan jari-jari satu (lingkaran satuan).
   • Ini adalah lingkaran dengan jari-jari sama dengan satu dan berpusat di titik O. Lingkaran satuan menggambarkan 4 fungsi trigonometri dasar dari variabel "x", di mana "x" adalah sudut yang diukur dari arah positif sumbu X berlawanan arah jarum jam.
   • Jika "x" adalah suatu sudut pada lingkaran satuan, maka:
   • Sumbu horizontal OAx mendefinisikan fungsi F (x) = cos x.
   • Sumbu vertikal OBy mendefinisikan fungsi F (x) = sin x.
   • Sumbu vertikal AT mendefinisikan fungsi F (x) = tan x.
   • Sumbu horizontal BU mendefinisikan fungsi F (x) = ctg x.

• Lingkaran satuan juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri dasar (posisi "x" yang berbeda dipertimbangkan di dalamnya).

Langkah

1. 1 Konsep penyelesaian persamaan trigonometri.
   • Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, ubah menjadi satu atau lebih persamaan trigonometri dasar. Memecahkan persamaan trigonometri akhirnya bermuara pada penyelesaian empat persamaan trigonometri dasar.
2. 2 Menyelesaikan persamaan trigonometri dasar.
   • Ada 4 jenis persamaan trigonometri dasar:
   • dosa x = a; cos x = a
   • tgx = a; ctg x = a
   • Memecahkan persamaan trigonometri dasar melibatkan melihat posisi x yang berbeda pada lingkaran satuan dan menggunakan tabel konversi (atau kalkulator).
   • Contoh 1.sin x = 0,866. Menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda mendapatkan jawabannya: x = / 3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: 2π / 3. Ingat: semua fungsi trigonometri bersifat periodik, yaitu nilainya berulang. Misalnya, periodisitas sin x dan cos x adalah 2πn, dan periodisitas tg x dan ctg x adalah n. Oleh karena itu, jawabannya ditulis sebagai berikut:
   • x1 = / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Contoh 2.cos x = -1/2. Menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda mendapatkan jawabannya: x = 2π / 3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Contoh 3.tg (x - / 4) = 0.
   • Jawaban: x = / 4 + n.
   • Contoh 4. ctg 2x = 1,732.
   • Jawaban: x = / 12 + n.
3. 3 Transformasi yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
   • Untuk mentransformasi persamaan trigonometri, digunakan transformasi aljabar (faktorisasi, pengurangan suku homogen, dll.) dan identitas trigonometri.
   • Contoh 5. Dengan menggunakan identitas trigonometri, persamaan sin x + sin 2x + sin 3x = 0 diubah menjadi persamaan 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Jadi, Anda perlu selesaikan persamaan trigonometri dasar berikut: cos x = 0; dosa (3x/2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Menemukan sudut dari nilai fungsi yang diketahui.
   • Sebelum mempelajari metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mempelajari cara menemukan sudut dari nilai fungsi yang diketahui. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel konversi atau kalkulator.
   • Contoh: cos x = 0,732. Kalkulator akan memberikan jawaban x = 42,95 derajat. Lingkaran satuan akan memberikan sudut tambahan, yang kosinusnya juga 0,732.
5. 5 Sisihkan solusi pada lingkaran satuan.
   • Anda dapat menunda penyelesaian persamaan trigonometri pada lingkaran satuan. Penyelesaian persamaan trigonometri pada lingkaran satuan adalah simpul-simpul poligon beraturan.
   • Contoh: Solusi x = / 3 + n / 2 pada lingkaran satuan adalah simpul-simpul persegi.
   • Contoh: Solusi x = / 4 + n / 3 pada lingkaran satuan mewakili simpul dari segi enam beraturan.
6. 6 Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.
   • Jika persamaan trigonometri yang diberikan hanya berisi satu fungsi trigonometri, selesaikan persamaan tersebut sebagai persamaan trigonometri dasar.Jika persamaan yang diberikan mencakup dua atau lebih fungsi trigonometri, maka ada 2 metode untuk menyelesaikan persamaan tersebut (tergantung pada kemungkinan transformasinya).
     • Metode 1.
   • Ubah persamaan ini menjadi persamaan bentuk: f (x) * g (x) * h (x) = 0, di mana f (x), g (x), h (x) adalah persamaan dasar trigonometri.
     
     
   • Contoh 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Larutan. Menggunakan rumus sudut ganda sin 2x = 2 * sin x * cos x, ganti sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos x = 0 dan (sin x + 1) = 0.
   • Contoh 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Solusi: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan berbentuk: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos 2x = 0 dan (2cos x + 1) = 0.
   • Contoh 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Solusi: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan berbentuk: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos 2x = 0 dan (2sin x + 1) = 0.
     • Metode 2.
   • Ubah persamaan trigonometri yang diberikan menjadi persamaan yang hanya berisi satu fungsi trigonometri. Kemudian ganti fungsi trigonometri ini dengan beberapa yang tidak diketahui, misalnya t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, dst).
   • Contoh 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Larutan. Dalam persamaan ini, ganti (cos ^ 2 x) dengan (1 - sin ^ 2 x) (dengan identitas). Persamaan yang diubah adalah:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Ganti sin x dengan t. Persamaannya sekarang terlihat seperti ini: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat dengan dua akar: t1 = -1 dan t2 = 9/5. Akar kedua t2 tidak memenuhi kisaran nilai fungsi (-1 sin x 1). Sekarang putuskan: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Contoh 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Larutan. Ganti tg x dengan t. Tulis ulang persamaan aslinya sebagai berikut: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Sekarang cari t lalu cari x untuk t = tg x.
7. 7 Persamaan trigonometri khusus.
   • Ada beberapa persamaan trigonometri khusus yang memerlukan transformasi khusus. Contoh:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodisitas fungsi trigonometri.
   • Seperti disebutkan sebelumnya, semua fungsi trigonometri bersifat periodik, yaitu nilainya diulang setelah periode tertentu. Contoh:
     • Periode fungsi f (x) = sin x adalah 2π.
     • Periode fungsi f (x) = tan x sama dengan .
     • Periode fungsi f (x) = sin 2x adalah .
     • Periode fungsi f (x) = cos (x / 2) adalah 4π.
   • Jika periode ditentukan dalam masalah, hitung nilai "x" dalam periode ini.
   • Catatan: Memecahkan persamaan trigonometri bukanlah tugas yang mudah dan sering menyebabkan kesalahan. Jadi periksa jawaban Anda dengan cermat. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan kalkulator grafik untuk memplot persamaan yang diberikan R (x) = 0. Dalam kasus seperti itu, solusi akan disajikan sebagai pecahan desimal (yaitu, diganti dengan 3,14).