Isi

• Langkah
• Metode 1 dari 3: Cara menemukan sisi yang tidak diketahui
• Metode 2 dari 3: Menemukan Sudut yang Tidak Diketahui
• Metode 3 dari 3: Contoh Soal
• Tips

Teorema kosinus banyak digunakan dalam trigonometri. Ini digunakan ketika bekerja dengan segitiga tidak beraturan untuk menemukan jumlah yang tidak diketahui seperti sisi dan sudut. Teorema ini mirip dengan teorema Pythagoras dan cukup mudah diingat. Teorema kosinus mengatakan bahwa dalam setiap segitiga ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Langkah

Metode 1 dari 3: Cara menemukan sisi yang tidak diketahui

1. 1 Tuliskan nilai-nilai yang diketahui. Untuk menemukan sisi segitiga yang tidak diketahui, Anda perlu mengetahui dua sisi lainnya dan sudut di antara mereka.
   • Misalnya diberikan segitiga XYZ. Sisi YX adalah 5 cm, sisi YZ adalah 9 cm, dan sudut Y adalah 89 °. Apa sisi XZ?
2. 2 Tuliskan rumus teorema kosinus. Rumus: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, di mana ${ gaya tampilan c}$ - pihak yang tidak dikenal, ${ gaya tampilan cos {C}}$ - cosinus dari sudut yang berlawanan dengan sisi yang tidak diketahui, ${ gaya tampilan a}$ dan ${ gaya tampilan b}$ - dua sisi terkenal.
3. 3 Masukkan nilai yang diketahui ke dalam rumus. Variabel ${ gaya tampilan a}$ dan ${ gaya tampilan b}$ menunjukkan dua sisi yang diketahui. Variabel ${} gaya tampilan C}$ adalah sudut yang diketahui yang terletak di antara sisi-sisinya ${ gaya tampilan a}$ dan ${ gaya tampilan b}$.
   • Dalam contoh kita, sisi XZ tidak diketahui, jadi dalam rumus itu dilambangkan sebagai ${ gaya tampilan c}$... Karena sisi YX dan YZ diketahui, mereka dilambangkan dengan variabel ${ gaya tampilan a}$ dan ${ gaya tampilan b}$... Variabel ${} gaya tampilan C}$ adalah sudut Y. Jadi, rumusnya akan ditulis sebagai berikut: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Temukan kosinus dari sudut yang diketahui. Lakukan dengan kalkulator. Masukkan nilai sudut, lalu klik ${ gaya tampilan COS}$... Jika Anda tidak memiliki kalkulator ilmiah, temukan tabel kosinus online, misalnya, di sini. Juga di Yandex, Anda dapat memasukkan "cosinus derajat X" (mengganti nilai sudut untuk X), dan mesin pencari akan menampilkan cosinus sudut.
   • Misalnya, kosinusnya adalah 89 ° 0,01745. Jadi: ${ gaya tampilan c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Kalikan angkanya. Berkembang biak ${ gaya tampilan 2ab}$ dengan kosinus dari sudut yang diketahui.
   • Sebagai contoh:
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Lipat kuadrat dari sisi yang diketahui. Ingat, untuk mengkuadratkan suatu bilangan, bilangan itu harus dikalikan dengan dirinya sendiri. Pertama, kuadratkan angka yang sesuai, lalu tambahkan nilai yang dihasilkan.
   • Sebagai contoh:
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Kurangi dua angka. Anda akan menemukan ${} gaya tampilan c ^ {2}}$.
   • Sebagai contoh:
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Ambil akar kuadrat dari nilai ini. Untuk melakukan ini, gunakan kalkulator. Ini adalah bagaimana Anda menemukan sisi yang tidak diketahui.
   • Sebagai contoh:
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ gaya tampilan { persegi {c ^ {2}}} = { persegi {104.4293}}}$
     ${ gaya tampilan c = 10.2191}$
     Jadi, sisi yang tidak diketahui adalah 10,2191 cm.

Metode 2 dari 3: Menemukan Sudut yang Tidak Diketahui

1. 1 Tuliskan nilai-nilai yang diketahui. Untuk menemukan sudut segitiga yang tidak diketahui, Anda perlu mengetahui ketiga sisi segitiga tersebut.
   • Misalnya diberikan segitiga RST. Sisi CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Tentukan nilai sudut S.
2. 2 Tuliskan rumus teorema kosinus. Rumus: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, di mana ${ gaya tampilan cos {C}}$ - cosinus dari sudut yang tidak diketahui, ${ gaya tampilan c}$ - sisi yang diketahui di seberang sudut yang tidak diketahui, ${ gaya tampilan a}$ dan ${ gaya tampilan b}$ - dua pesta terkenal lainnya.
3. 3 Temukan nilainya Sebuah{ gaya tampilan a}, B{ gaya tampilan b} dan C{ gaya tampilan c}. Kemudian masukkan ke dalam rumus.
   • Misalnya, sisi RT berlawanan dengan sudut S yang tidak diketahui, sehingga sisi RT adalah ${ gaya tampilan c}$ dalam rumus. Pihak lain akan ${ gaya tampilan a}$ dan ${ gaya tampilan b}$... Jadi, rumusnya akan ditulis sebagai berikut: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Kalikan angkanya. Berkembang biak ${ gaya tampilan 2ab}$ dengan cosinus dari sudut yang tidak diketahui.
   • Sebagai contoh, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Tegak C{ gaya tampilan c} dalam sebuah persegi. Artinya, kalikan angka itu sendiri.
   • Sebagai contoh, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Lipat persegi Sebuah{ gaya tampilan a} dan B{ gaya tampilan b}. Tapi pertama-tama, kuadratkan angka-angka yang sesuai.
   • Sebagai contoh:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ gaya tampilan 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Pisahkan kosinus dari sudut yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kurangi jumlahnya ${} gaya tampilan a ^ {2}}$ dan ${} gaya tampilan b ^ {2}}$ dari kedua sisi persamaan. Kemudian bagi setiap ruas persamaan dengan faktor pada kosinus dari sudut yang tidak diketahui.
   • Misalnya, untuk mengisolasi kosinus dari sudut yang tidak diketahui, kurangi 164 dari kedua sisi persamaan, lalu bagi setiap sisi dengan -160:
     ${ gaya tampilan 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ gaya tampilan -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ gaya tampilan 0,125 = cos {C}}$
8. 8 Hitung invers cosinus. Ini akan menemukan nilai sudut yang tidak diketahui. Pada kalkulator, fungsi kosinus terbalik dilambangkan ${ gaya tampilan COS ^ {- 1}}$.
   • Misalnya, arccosinus dari 0,0125 adalah 82,8192. Jadi sudut S adalah 82,8192°.

Metode 3 dari 3: Contoh Soal

1. 1 Temukan sisi segitiga yang tidak diketahui. Sisi-sisi yang diketahui adalah 20 cm dan 17 cm, dan sudut di antara mereka adalah 68 °.
   • Karena Anda diberikan dua sisi dan sudut di antara mereka, Anda dapat menggunakan teorema kosinus. Tuliskan rumusnya: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Sisi yang tidak diketahui adalah ${ gaya tampilan c}$... Masukkan nilai yang diketahui ke dalam rumus: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Menghitung ${} gaya tampilan c ^ {2}}$, mengamati urutan operasi matematika:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 689-254.7325}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 434.2675}$
   • Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan. Inilah cara Anda menemukan sisi yang tidak diketahui:
     ${ gaya tampilan { persegi {c ^ {2}}} = { persegi {434.2675}}}$
     ${ gaya tampilan c = 20,8391}$
     Jadi, sisi yang tidak diketahui adalah 20,8391 cm.
2. 2 Tentukan sudut H pada segitiga GHI. Dua sisi yang berdekatan dengan sudut H adalah 22 dan 16 cm. Sisi yang berhadapan dengan sudut H adalah 13 cm.
   • Karena ketiga sisi diberikan, teorema kosinus dapat digunakan. Tuliskan rumusnya: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Sisi yang berlawanan dengan sudut yang tidak diketahui adalah ${ gaya tampilan c}$... Masukkan nilai yang diketahui ke dalam rumus: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Sederhanakan ekspresi yang dihasilkan:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ gaya tampilan 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ gaya tampilan 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Pisahkan kosinus:
     ${ gaya tampilan 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ gaya tampilan -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ gaya tampilan 0,8111 = cos {C}}$
   • Cari invers cosinus. Ini adalah bagaimana Anda menghitung sudut yang tidak diketahui:
     ${ gaya tampilan 0,8111 = cos {C}}$
     ${ gaya tampilan 35,7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Jadi, sudut H adalah 35,7985 °.
3. 3 Cari panjang jalan. Jalur sungai, perbukitan dan rawa membentuk segitiga. Panjang Jejak Sungai adalah 3 km, panjang Jejak Berbukit adalah 5 km; jalur ini berpotongan satu sama lain pada sudut 135°. Jalur rawa menghubungkan kedua ujung jalur lainnya. Temukan panjang Jalur Rawa.
   • Jalan setapak membentuk segitiga. Anda perlu menemukan panjang jalan yang tidak diketahui, yang merupakan sisi segitiga. Karena panjang dari dua jalur lainnya dan sudut di antara mereka diberikan, teorema kosinus dapat digunakan.
   • Tuliskan rumusnya: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Jalur yang tidak diketahui (Rawa) akan dilambangkan sebagai ${ gaya tampilan c}$... Masukkan nilai yang diketahui ke dalam rumus: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Menghitung ${} gaya tampilan c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0,7071)}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ gaya tampilan c ^ {2} = 55.2132}$
   • Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan. Ini adalah bagaimana Anda menemukan panjang jalur yang tidak diketahui:
     ${ gaya tampilan { persegi {c ^ {2}}} = { persegi {55.2132}}}$
     ${ gaya tampilan c = 7.4306}$
     Jadi, panjang Jalur Rawa adalah 7,4306 km.

Tips

• Lebih mudah menggunakan teorema sinus. Oleh karena itu, cari tahu terlebih dahulu apakah dapat diterapkan pada masalah yang diberikan.