Cara mentranspos matriks

Isi

Langkah
Bagian 1 dari 3: Transpose Matriks
Bagian 2 dari 3: Properti Transposisi
Bagian 3 dari 3: Matriks konjugat Hermitian dengan elemen kompleks
Tips

Jika Anda mempelajari cara mentranspos matriks, Anda akan memiliki pemahaman yang lebih baik tentang strukturnya. Anda mungkin sudah tahu tentang matriks persegi dan simetrinya untuk membantu Anda menguasai transposisi. Antara lain, transposisi membantu mengubah vektor menjadi bentuk matriks dan menemukan produk vektor. Saat bekerja dengan matriks kompleks, matriks Hermitian-conjugate (conjugate-transpose) dapat membantu Anda memecahkan berbagai masalah.

Langkah

Bagian 1 dari 3: Transpose Matriks

1 Ambil matriks apa pun. Matriks apa pun dapat ditransposisikan, berapa pun jumlah baris dan kolomnya. Paling sering perlu untuk mentranspos matriks persegi yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, jadi untuk kesederhanaan, pertimbangkan matriks berikut sebagai contoh:
- matriks SEBUAH =
  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9
2 Bayangkan baris pertama dari matriks langsung sebagai kolom pertama dari matriks yang ditransposisikan. Cukup tulis baris pertama sebagai kolom:
- matriks yang ditransposisikan = A
- kolom pertama matriks A:
  1
  2
  3
3 Lakukan hal yang sama untuk sisa baris. Baris kedua dari matriks asli akan menjadi kolom kedua dari matriks yang ditransposisikan. Terjemahkan semua baris ke kolom:
- SEBUAH =
  1  4  7
  2  5  8
  3  6  9
4 Cobalah untuk mentranspos matriks non-persegi. Setiap matriks persegi panjang dapat ditransposisikan dengan cara yang sama. Tulis saja baris pertama sebagai kolom pertama, baris kedua sebagai kolom kedua, dan seterusnya. Pada contoh di bawah ini, setiap baris matriks asli ditandai dengan warnanya sendiri untuk memperjelas bagaimana transformasinya saat ditransposisikan:
- matriks Z =
  4 7 2 1
  3 9 8 6
- matriks Z =
  4  3
  7  9
  2  8
  1  6
5 Mari kita nyatakan transposisi dalam bentuk notasi matematika. Meskipun ide transposisi sangat sederhana, yang terbaik adalah menuliskannya sebagai formula yang ketat. Notasi matriks tidak memerlukan istilah khusus:
- Misalkan diberikan matriks B yang terdiri dari M x n elemen (m baris dan n kolom), maka matriks B yang ditransposisikan adalah himpunan n x M elemen (n baris dan m kolom).
- Untuk setiap elemen b_xy (garis x dan kolom kamu) dari matriks B dalam matriks B terdapat elemen yang ekivalen b_yx (garis kamu dan kolom x).

Bagian 2 dari 3: Properti Transposisi

1 (M = M Setelah transposisi ganda, matriks asli diperoleh. Ini cukup jelas, karena ketika Anda melakukan transpos ulang, Anda mengubah baris dan kolom lagi, menghasilkan matriks asli.
2 Cerminkan matriks di sekitar diagonal utama. Matriks persegi dapat "dibalik" relatif terhadap diagonal utama. Selain itu, elemen di sepanjang diagonal utama (dari a₁₁ ke sudut kanan bawah matriks) tetap di tempatnya, dan elemen lainnya bergerak ke sisi lain dari diagonal ini dan tetap pada jarak yang sama darinya.
- Jika Anda merasa sulit membayangkan metode ini, ambil selembar kertas dan gambar matriks 4x4. Kemudian atur ulang elemen sampingnya relatif terhadap diagonal utama. Pada saat yang sama, lacak elemen a₁₄ dan₄₁... Ketika ditransposisikan, mereka harus ditukar seperti pasangan elemen samping lainnya.
3 Transpos matriks simetris. Unsur-unsur matriks semacam itu simetris terhadap diagonal utama. Jika Anda melakukan operasi di atas dan "membalik" matriks simetris, itu tidak akan berubah. Semua elemen akan berubah menjadi yang serupa. Sebenarnya, ini adalah cara standar untuk menentukan apakah matriks yang diberikan simetris. Jika persamaan A = A berlaku, maka matriks A simetris.

Bagian 3 dari 3: Matriks konjugat Hermitian dengan elemen kompleks

1 Pertimbangkan matriks kompleks. Unsur-unsur matriks kompleks terdiri dari bagian nyata dan imajiner. Matriks seperti itu juga dapat ditransposisikan, meskipun dalam sebagian besar aplikasi praktis digunakan matriks transposisi konjugasi atau konjugat Hermitian.
- Misalkan diberikan matriks C =
  2+Saya 3-2Saya
  0+Saya 5+0Saya
2 Ganti elemen dengan bilangan konjugasi kompleks. Dalam operasi konjugasi kompleks, bagian nyata tetap sama, dan bagian imajiner berubah tandanya menjadi kebalikannya. Mari kita lakukan ini dengan keempat elemen matriks.
- cari matriks konjugasi kompleks C * =
  2-Saya 3+2Saya
  0-Saya 5-0Saya
3 Kami mentranspos matriks yang dihasilkan. Ambil matriks konjugat kompleks yang ditemukan dan transposkan saja. Hasilnya, kami mendapatkan matriks transpos konjugat (konjugat Hermitian).
- matriks transpos konjugat C =
  2-Saya 0-Saya
  3+2Saya 5-0Saya

Tips

Dalam artikel ini, matriks yang ditransposisikan relatif terhadap matriks A dilambangkan sebagai A. Ada juga notasi A 'atau .
Dalam artikel ini, matriks konjugat Hermitian terhadap matriks A dilambangkan sebagai A, yang merupakan notasi umum dalam aljabar linier. Dalam mekanika kuantum, notasi A sering digunakan.Terkadang matriks konjugat Hermitian ditulis dalam bentuk A *, tetapi lebih baik untuk menghindari notasi ini, karena notasi ini juga digunakan untuk menulis matriks konjugat kompleks.